Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60270 / 59934
↖ ↑ ↗
← S 81.542544°
E151.072998°		 ← 89.83 m → S 81.542544°
E151.078491°		 →
↑
89.83 m
↓
↑
89.83 m
↓
S 81.543352°
E151.072998°		 ← 89.82 m →
8 069 m²		 S 81.543352°
E151.078491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919654846191406 y=0.914527893066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919654846191406 × 216)
    floor (0.919654846191406 × 65536)
    floor (60270.5)     		tx = 60270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914527893066406 × 216)
    floor (0.914527893066406 × 65536)
    floor (59934.5)     		ty = 59934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60270 / 59934 ti = "16/60270/59934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60270/59934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60270 ÷ 216
    60270 ÷ 65536     		x = 0.919647216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59934 ÷ 216
    59934 ÷ 65536     		y = 0.914520263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919647216796875 × 2 - 1) × π
    0.83929443359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.63672123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914520263671875 × 2 - 1) × π
    -0.82904052734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.60450763015689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63672123} λ = 2.63672123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60450763015689))-π/2
    2×atan(0.0739395338331908)-π/2
    2×0.0738052302811978-π/2
    0.147610460562396-1.57079632675     		φ = -1.42318587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63672123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.072998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42318587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.542544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60270 KachelY 59934 2.63672123 -1.42318587 151.072998 -81.542544
    Oben rechts KachelX + 1 60271 KachelY 59934 2.63681710 -1.42318587 151.078491 -81.542544
    Unten links KachelX 60270 KachelY + 1 59935 2.63672123 -1.42319997 151.072998 -81.543352
    Unten rechts KachelX + 1 60271 KachelY + 1 59935 2.63681710 -1.42319997 151.078491 -81.543352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42318587--1.42319997) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dl = 89.8311000001075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42318587--1.42319997) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dr = 89.8311000001075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63672123-2.63681710) × cos(-1.42318587) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147074996871951 × 6371000     		do = 89.8316093621741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63672123-2.63681710) × cos(-1.42319997) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147061050189987 × 6371000     		du = 89.8230908993985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42318587)-sin(-1.42319997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147074996871951-0.147061050189987)×R²
    abs(2.63681710-2.63672123)×1.39466819638889e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.39466819638889e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.39466819638889e-05×40589641000000     		ar = 8069.28967215408m²