Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60270 / 30706
↖ ↑ ↗
← N 68.670546°
W 14.463501°		 ← 111.07 m → N 68.670546°
W 14.460755°		 →
↑
111.11 m
↓
↑
111.11 m
↓
N 68.669546°
W 14.463501°		 ← 111.07 m →
12 341 m²		 N 68.669546°
W 14.460755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459827423095703 y=0.234272003173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459827423095703 × 217)
    floor (0.459827423095703 × 131072)
    floor (60270.5)     		tx = 60270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234272003173828 × 217)
    floor (0.234272003173828 × 131072)
    floor (30706.5)     		ty = 30706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60270 / 30706 ti = "17/60270/30706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60270/30706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60270 ÷ 217
    60270 ÷ 131072     		x = 0.459823608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30706 ÷ 217
    30706 ÷ 131072     		y = 0.234268188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459823608398438 × 2 - 1) × π
    -0.080352783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25243571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234268188476562 × 2 - 1) × π
    0.531463623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.66964221376656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25243571} λ = -0.25243571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66964221376656))-π/2
    2×atan(5.31026751664097)-π/2
    2×1.38466172299389-π/2
    2.76932344598777-1.57079632675     		φ = 1.19852712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25243571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.463501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19852712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.670546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60270 KachelY 30706 -0.25243571 1.19852712 -14.463501 68.670546
    Oben rechts KachelX + 1 60271 KachelY 30706 -0.25238778 1.19852712 -14.460755 68.670546
    Unten links KachelX 60270 KachelY + 1 30707 -0.25243571 1.19850968 -14.463501 68.669546
    Unten rechts KachelX + 1 60271 KachelY + 1 30707 -0.25238778 1.19850968 -14.460755 68.669546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19852712-1.19850968) × R
    1.74400000001462e-05 × 6371000     		dl = 111.110240000932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19852712-1.19850968) × R
    1.74400000001462e-05 × 6371000     		dr = 111.110240000932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25243571--0.25238778) × cos(1.19852712) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.363730142664321 × 6371000     		do = 111.069374736106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25243571--0.25238778) × cos(1.19850968) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.363746388045143 × 6371000     		du = 111.074335458572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19852712)-sin(1.19850968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363730142664321-0.363746388045143)×R²
    abs(-0.25238778--0.25243571)×1.62453808222329e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.62453808222329e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.62453808222329e-05×40589641000000     		ar = 12341.2204773349m²