Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60270 / 30695
↖ ↑ ↗
← N 68.681532°
W 14.463501°		 ← 111.01 m → N 68.681532°
W 14.460755°		 →
↑
111.05 m
↓
↑
111.05 m
↓
N 68.680533°
W 14.463501°		 ← 111.02 m →
12 328 m²		 N 68.680533°
W 14.460755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459827423095703 y=0.234188079833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459827423095703 × 217)
    floor (0.459827423095703 × 131072)
    floor (60270.5)     		tx = 60270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234188079833984 × 217)
    floor (0.234188079833984 × 131072)
    floor (30695.5)     		ty = 30695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60270 / 30695 ti = "17/60270/30695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60270/30695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60270 ÷ 217
    60270 ÷ 131072     		x = 0.459823608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30695 ÷ 217
    30695 ÷ 131072     		y = 0.234184265136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459823608398438 × 2 - 1) × π
    -0.080352783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25243571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234184265136719 × 2 - 1) × π
    0.531631469726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.67016951966238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25243571} λ = -0.25243571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67016951966238))-π/2
    2×atan(5.3130683904046)-π/2
    2×1.38475759796962-π/2
    2.76951519593924-1.57079632675     		φ = 1.19871887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25243571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.463501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19871887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.681532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60270 KachelY 30695 -0.25243571 1.19871887 -14.463501 68.681532
    Oben rechts KachelX + 1 60271 KachelY 30695 -0.25238778 1.19871887 -14.460755 68.681532
    Unten links KachelX 60270 KachelY + 1 30696 -0.25243571 1.19870144 -14.463501 68.680533
    Unten rechts KachelX + 1 60271 KachelY + 1 30696 -0.25238778 1.19870144 -14.460755 68.680533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19871887-1.19870144) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dl = 111.046529999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19871887-1.19870144) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dr = 111.046529999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25243571--0.25238778) × cos(1.19871887) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.363551520016467 × 6371000     		do = 111.014830161753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25243571--0.25238778) × cos(1.19870144) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.363567757297697 × 6371000     		du = 111.019788410911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19871887)-sin(1.19870144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363551520016467-0.363567757297697)×R²
    abs(-0.25238778--0.25243571)×1.62372812302358e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.62372812302358e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.62372812302358e-05×40589641000000     		ar = 12328.0869664089m²