Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60270 / 27182
↖ ↑ ↗
← N 71.926232°
W 14.463501°		 ← 94.74 m → N 71.926232°
W 14.460755°		 →
↑
94.74 m
↓
↑
94.74 m
↓
N 71.925380°
W 14.463501°		 ← 94.74 m →
8 975 m²		 N 71.925380°
W 14.460755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459827423095703 y=0.207386016845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459827423095703 × 217)
    floor (0.459827423095703 × 131072)
    floor (60270.5)     		tx = 60270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207386016845703 × 217)
    floor (0.207386016845703 × 131072)
    floor (27182.5)     		ty = 27182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60270 / 27182 ti = "17/60270/27182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60270/27182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60270 ÷ 217
    60270 ÷ 131072     		x = 0.459823608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27182 ÷ 217
    27182 ÷ 131072     		y = 0.207382202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459823608398438 × 2 - 1) × π
    -0.080352783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25243571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207382202148438 × 2 - 1) × π
    0.585235595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.83857184802763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25243571} λ = -0.25243571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83857184802763))-π/2
    2×atan(6.2875522657009)-π/2
    2×1.413072947054-π/2
    2.82614589410801-1.57079632675     		φ = 1.25534957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25243571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.463501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25534957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.926232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60270 KachelY 27182 -0.25243571 1.25534957 -14.463501 71.926232
    Oben rechts KachelX + 1 60271 KachelY 27182 -0.25238778 1.25534957 -14.460755 71.926232
    Unten links KachelX 60270 KachelY + 1 27183 -0.25243571 1.25533470 -14.463501 71.925380
    Unten rechts KachelX + 1 60271 KachelY + 1 27183 -0.25238778 1.25533470 -14.460755 71.925380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25534957-1.25533470) × R
    1.48700000000002e-05 × 6371000     		dl = 94.736770000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25534957-1.25533470) × R
    1.48700000000002e-05 × 6371000     		dr = 94.736770000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25243571--0.25238778) × cos(1.25534957) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.310241215037928 × 6371000     		do = 94.7358872135966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25243571--0.25238778) × cos(1.25533470) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.310255351286176 × 6371000     		du = 94.7402038870581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25534957)-sin(1.25533470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310241215037928-0.310255351286176)×R²
    abs(-0.25238778--0.25243571)×1.41362482476981e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.41362482476981e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.41362482476981e-05×40589641000000     		ar = 8975.17643185457m²