Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60268 / 59932
↖ ↑ ↗
← S 81.540928°
E151.062012°		 ← 89.85 m → S 81.540928°
E151.067505°		 →
↑
89.83 m
↓
↑
89.83 m
↓
S 81.541735°
E151.062012°		 ← 89.84 m →
8 071 m²		 S 81.541735°
E151.067505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919624328613281 y=0.914497375488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919624328613281 × 216)
    floor (0.919624328613281 × 65536)
    floor (60268.5)     		tx = 60268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914497375488281 × 216)
    floor (0.914497375488281 × 65536)
    floor (59932.5)     		ty = 59932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60268 / 59932 ti = "16/60268/59932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60268/59932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60268 ÷ 216
    60268 ÷ 65536     		x = 0.91961669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59932 ÷ 216
    59932 ÷ 65536     		y = 0.91448974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91961669921875 × 2 - 1) × π
    0.8392333984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.63652948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91448974609375 × 2 - 1) × π
    -0.8289794921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.60431588255841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63652948} λ = 2.63652948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60431588255841))-π/2
    2×atan(0.0739537129205956)-π/2
    2×0.0738193322575417-π/2
    0.147638664515083-1.57079632675     		φ = -1.42315766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63652948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.062012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42315766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.540928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60268 KachelY 59932 2.63652948 -1.42315766 151.062012 -81.540928
    Oben rechts KachelX + 1 60269 KachelY 59932 2.63662535 -1.42315766 151.067505 -81.540928
    Unten links KachelX 60268 KachelY + 1 59933 2.63652948 -1.42317176 151.062012 -81.541735
    Unten rechts KachelX + 1 60269 KachelY + 1 59933 2.63662535 -1.42317176 151.067505 -81.541735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42315766--1.42317176) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dl = 89.8311000001075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42315766--1.42317176) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dr = 89.8311000001075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63652948-2.63662535) × cos(-1.42315766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147102900039368 × 6371000     		do = 89.8486522755767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63652948-2.63662535) × cos(-1.42317176) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147088953415908 × 6371000     		du = 89.8401338485342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42315766)-sin(-1.42317176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147102900039368-0.147088953415908)×R²
    abs(2.63662535-2.63652948)×1.39466234604368e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.39466234604368e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.39466234604368e-05×40589641000000     		ar = 8070.82065737549m²