Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60268 / 34094
↖ ↑ ↗
← N 65.018826°
W 14.468994°		 ← 128.99 m → N 65.018826°
W 14.466248°		 →
↑
128.95 m
↓
↑
128.95 m
↓
N 65.017666°
W 14.468994°		 ← 128.99 m →
16 633 m²		 N 65.017666°
W 14.466248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459812164306641 y=0.260120391845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459812164306641 × 217)
    floor (0.459812164306641 × 131072)
    floor (60268.5)     		tx = 60268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260120391845703 × 217)
    floor (0.260120391845703 × 131072)
    floor (34094.5)     		ty = 34094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60268 / 34094 ti = "17/60268/34094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60268/34094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60268 ÷ 217
    60268 ÷ 131072     		x = 0.459808349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34094 ÷ 217
    34094 ÷ 131072     		y = 0.260116577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459808349609375 × 2 - 1) × π
    -0.08038330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25253159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260116577148438 × 2 - 1) × π
    0.479766845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50723199785381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25253159} λ = -0.25253159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50723199785381))-π/2
    2×atan(4.51421811930516)-π/2
    2×1.35279446028253-π/2
    2.70558892056505-1.57079632675     		φ = 1.13479259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25253159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.468994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13479259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.018826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60268 KachelY 34094 -0.25253159 1.13479259 -14.468994 65.018826
    Oben rechts KachelX + 1 60269 KachelY 34094 -0.25248365 1.13479259 -14.466248 65.018826
    Unten links KachelX 60268 KachelY + 1 34095 -0.25253159 1.13477235 -14.468994 65.017666
    Unten rechts KachelX + 1 60269 KachelY + 1 34095 -0.25248365 1.13477235 -14.466248 65.017666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13479259-1.13477235) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dl = 128.94904000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13479259-1.13477235) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dr = 128.94904000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25253159--0.25248365) × cos(1.13479259) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422320447760598 × 6371000     		do = 128.987535274328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25253159--0.25248365) × cos(1.13477235) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422338794153286 × 6371000     		du = 128.99313873489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13479259)-sin(1.13477235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422320447760598-0.422338794153286)×R²
    abs(-0.25248365--0.25253159)×1.83463926877736e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83463926877736e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83463926877736e-05×40589641000000     		ar = 16633.1801266513m²