Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60267 / 40075
↖ ↑ ↗
← N 57.119841°
W 14.471740°		 ← 165.78 m → N 57.119841°
W 14.468994°		 →
↑
165.84 m
↓
↑
165.84 m
↓
N 57.118350°
W 14.471740°		 ← 165.78 m →
27 492 m²		 N 57.118350°
W 14.468994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459804534912109 y=0.305751800537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459804534912109 × 217)
    floor (0.459804534912109 × 131072)
    floor (60267.5)     		tx = 60267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305751800537109 × 217)
    floor (0.305751800537109 × 131072)
    floor (40075.5)     		ty = 40075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60267 / 40075 ti = "17/60267/40075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60267/40075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60267 ÷ 217
    60267 ÷ 131072     		x = 0.459800720214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40075 ÷ 217
    40075 ÷ 131072     		y = 0.305747985839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459800720214844 × 2 - 1) × π
    -0.0803985595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25257952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305747985839844 × 2 - 1) × π
    0.388504028320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.22052140122625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25257952} λ = -0.25257952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22052140122625))-π/2
    2×atan(3.38895427795835)-π/2
    2×1.28386281136288-π/2
    2.56772562272577-1.57079632675     		φ = 0.99692930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25257952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.471740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99692930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.119841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60267 KachelY 40075 -0.25257952 0.99692930 -14.471740 57.119841
    Oben rechts KachelX + 1 60268 KachelY 40075 -0.25253159 0.99692930 -14.468994 57.119841
    Unten links KachelX 60267 KachelY + 1 40076 -0.25257952 0.99690327 -14.471740 57.118350
    Unten rechts KachelX + 1 60268 KachelY + 1 40076 -0.25253159 0.99690327 -14.468994 57.118350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99692930-0.99690327) × R
    2.60300000000102e-05 × 6371000     		dl = 165.837130000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99692930-0.99690327) × R
    2.60300000000102e-05 × 6371000     		dr = 165.837130000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25257952--0.25253159) × cos(0.99692930) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.542883659453657 × 6371000     		do = 165.776056304699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25257952--0.25253159) × cos(0.99690327) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.542905519469736 × 6371000     		du = 165.782731523585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99692930)-sin(0.99690327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542883659453657-0.542905519469736)×R²
    abs(-0.25253159--0.25257952)×2.18600160787341e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.18600160787341e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.18600160787341e-05×40589641000000     		ar = 27492.3789013925m²