Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60267 / 30603
↖ ↑ ↗
← N 68.773208°
W 14.471740°		 ← 110.56 m → N 68.773208°
W 14.468994°		 →
↑
110.54 m
↓
↑
110.54 m
↓
N 68.772214°
W 14.471740°		 ← 110.56 m →
12 221 m²		 N 68.772214°
W 14.468994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459804534912109 y=0.233486175537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459804534912109 × 217)
    floor (0.459804534912109 × 131072)
    floor (60267.5)     		tx = 60267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233486175537109 × 217)
    floor (0.233486175537109 × 131072)
    floor (30603.5)     		ty = 30603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60267 / 30603 ti = "17/60267/30603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60267/30603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60267 ÷ 217
    60267 ÷ 131072     		x = 0.459800720214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30603 ÷ 217
    30603 ÷ 131072     		y = 0.233482360839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459800720214844 × 2 - 1) × π
    -0.0803985595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25257952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.233482360839844 × 2 - 1) × π
    0.533035278320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.67457971442742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25257952} λ = -0.25257952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67457971442742))-π/2
    2×atan(5.33655180195331)-π/2
    2×1.38555761959516-π/2
    2.77111523919031-1.57079632675     		φ = 1.20031891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25257952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.471740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20031891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.773208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60267 KachelY 30603 -0.25257952 1.20031891 -14.471740 68.773208
    Oben rechts KachelX + 1 60268 KachelY 30603 -0.25253159 1.20031891 -14.468994 68.773208
    Unten links KachelX 60267 KachelY + 1 30604 -0.25257952 1.20030156 -14.471740 68.772214
    Unten rechts KachelX + 1 60268 KachelY + 1 30604 -0.25253159 1.20030156 -14.468994 68.772214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20031891-1.20030156) × R
    1.73500000000271e-05 × 6371000     		dl = 110.536850000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20031891-1.20030156) × R
    1.73500000000271e-05 × 6371000     		dr = 110.536850000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25257952--0.25253159) × cos(1.20031891) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362060499470264 × 6371000     		do = 110.559529101122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25257952--0.25253159) × cos(1.20030156) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362076672298046 × 6371000     		du = 110.564467668644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20031891)-sin(1.20030156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362060499470264-0.362076672298046)×R²
    abs(-0.25253159--0.25257952)×1.6172827781713e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6172827781713e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6172827781713e-05×40589641000000     		ar = 12221.1750316183m²