Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60266 / 40072
↖ ↑ ↗
← N 57.124314°
W 14.474487°		 ← 165.79 m → N 57.124314°
W 14.471740°		 →
↑
165.77 m
↓
↑
165.77 m
↓
N 57.122823°
W 14.474487°		 ← 165.80 m →
27 484 m²		 N 57.122823°
W 14.471740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459796905517578 y=0.305728912353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459796905517578 × 217)
    floor (0.459796905517578 × 131072)
    floor (60266.5)     		tx = 60266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305728912353516 × 217)
    floor (0.305728912353516 × 131072)
    floor (40072.5)     		ty = 40072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60266 / 40072 ti = "17/60266/40072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60266/40072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60266 ÷ 217
    60266 ÷ 131072     		x = 0.459793090820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40072 ÷ 217
    40072 ÷ 131072     		y = 0.30572509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459793090820312 × 2 - 1) × π
    -0.080413818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25262746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30572509765625 × 2 - 1) × π
    0.3885498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22066521192511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25262746} λ = -0.25262746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22066521192511))-π/2
    2×atan(3.38944168088751)-π/2
    2×1.28390184524515-π/2
    2.5678036904903-1.57079632675     		φ = 0.99700736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25262746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.474487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99700736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.124314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60266 KachelY 40072 -0.25262746 0.99700736 -14.474487 57.124314
    Oben rechts KachelX + 1 60267 KachelY 40072 -0.25257952 0.99700736 -14.471740 57.124314
    Unten links KachelX 60266 KachelY + 1 40073 -0.25262746 0.99698134 -14.474487 57.122823
    Unten rechts KachelX + 1 60267 KachelY + 1 40073 -0.25257952 0.99698134 -14.471740 57.122823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99700736-0.99698134) × R
    2.601999999996e-05 × 6371000     		dl = 165.773419999745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99700736-0.99698134) × R
    2.601999999996e-05 × 6371000     		dr = 165.773419999745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25262746--0.25257952) × cos(0.99700736) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.542818102393969 × 6371000     		do = 165.790620609157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25262746--0.25257952) × cos(0.99698134) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.542839955114728 × 6371000     		du = 165.797294992566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99700736)-sin(0.99698134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542818102393969-0.542839955114728)×R²
    abs(-0.25257952--0.25262746)×2.18527207589414e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.18527207589414e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.18527207589414e-05×40589641000000     		ar = 27484.2314015158m²