Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60266 / 30602
↖ ↑ ↗
← N 68.774202°
W 14.474487°		 ← 110.58 m → N 68.774202°
W 14.471740°		 →
↑
110.60 m
↓
↑
110.60 m
↓
N 68.773208°
W 14.474487°		 ← 110.58 m →
12 230 m²		 N 68.773208°
W 14.471740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459796905517578 y=0.233478546142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459796905517578 × 217)
    floor (0.459796905517578 × 131072)
    floor (60266.5)     		tx = 60266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233478546142578 × 217)
    floor (0.233478546142578 × 131072)
    floor (30602.5)     		ty = 30602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60266 / 30602 ti = "17/60266/30602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60266/30602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60266 ÷ 217
    60266 ÷ 131072     		x = 0.459793090820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30602 ÷ 217
    30602 ÷ 131072     		y = 0.233474731445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459793090820312 × 2 - 1) × π
    -0.080413818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25262746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.233474731445312 × 2 - 1) × π
    0.533050537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.67462765132704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25262746} λ = -0.25262746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67462765132704))-π/2
    2×atan(5.33680762583301)-π/2
    2×1.38556629743013-π/2
    2.77113259486026-1.57079632675     		φ = 1.20033627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25262746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.474487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20033627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.774202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60266 KachelY 30602 -0.25262746 1.20033627 -14.474487 68.774202
    Oben rechts KachelX + 1 60267 KachelY 30602 -0.25257952 1.20033627 -14.471740 68.774202
    Unten links KachelX 60266 KachelY + 1 30603 -0.25262746 1.20031891 -14.474487 68.773208
    Unten rechts KachelX + 1 60267 KachelY + 1 30603 -0.25257952 1.20031891 -14.471740 68.773208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20033627-1.20031891) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dl = 110.600559999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20033627-1.20031891) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dr = 110.600559999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25262746--0.25257952) × cos(1.20033627) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.362044317211886 × 6371000     		do = 110.57765349729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25262746--0.25257952) × cos(1.20031891) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.362060499470264 × 6371000     		du = 110.582595975531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20033627)-sin(1.20031891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362044317211886-0.362060499470264)×R²
    abs(-0.25257952--0.25262746)×1.61822583788496e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.61822583788496e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.61822583788496e-05×40589641000000     		ar = 12230.2237209958m²