Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60263 / 59927
↖ ↑ ↗
← S 81.536886°
E151.034546°		 ← 89.89 m → S 81.536886°
E151.040039°		 →
↑
89.89 m
↓
↑
89.89 m
↓
S 81.537695°
E151.034546°		 ← 89.88 m →
8 080 m²		 S 81.537695°
E151.040039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919548034667969 y=0.914421081542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919548034667969 × 216)
    floor (0.919548034667969 × 65536)
    floor (60263.5)     		tx = 60263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914421081542969 × 216)
    floor (0.914421081542969 × 65536)
    floor (59927.5)     		ty = 59927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60263 / 59927 ti = "16/60263/59927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60263/59927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60263 ÷ 216
    60263 ÷ 65536     		x = 0.919540405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59927 ÷ 216
    59927 ÷ 65536     		y = 0.914413452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919540405273438 × 2 - 1) × π
    0.839080810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.63605011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914413452148438 × 2 - 1) × π
    -0.828826904296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.60383651356221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63605011} λ = 2.63605011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60383651356221))-π/2
    2×atan(0.0739891725361648)-π/2
    2×0.0738545989019871-π/2
    0.147709197803974-1.57079632675     		φ = -1.42308713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63605011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.034546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42308713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.536886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60263 KachelY 59927 2.63605011 -1.42308713 151.034546 -81.536886
    Oben rechts KachelX + 1 60264 KachelY 59927 2.63614598 -1.42308713 151.040039 -81.536886
    Unten links KachelX 60263 KachelY + 1 59928 2.63605011 -1.42310124 151.034546 -81.537695
    Unten rechts KachelX + 1 60264 KachelY + 1 59928 2.63614598 -1.42310124 151.040039 -81.537695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42308713--1.42310124) × R
    1.41099999999561e-05 × 6371000     		dl = 89.8948099997203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42308713--1.42310124) × R
    1.41099999999561e-05 × 6371000     		dr = 89.8948099997203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63605011-2.63614598) × cos(-1.42308713) × R
    9.5870000000442e-05 × 0.147172662391256 × 6371000     		do = 89.8912622673328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63605011-2.63614598) × cos(-1.42310124) × R
    9.5870000000442e-05 × 0.147158706022985 × 6371000     		du = 89.8827378882788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42308713)-sin(-1.42310124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147172662391256-0.147158706022985)×R²
    abs(2.63614598-2.63605011)×1.39563682716726e-05×R²
    9.5870000000442e-05×1.39563682716726e-05×6371000²
    9.5870000000442e-05×1.39563682716726e-05×40589641000000     		ar = 8080.37479384622m²