Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60262 / 30670
↖ ↑ ↗
← N 68.706481°
W 14.485474°		 ← 110.91 m → N 68.706481°
W 14.482727°		 →
↑
110.86 m
↓
↑
110.86 m
↓
N 68.705484°
W 14.485474°		 ← 110.92 m →
12 296 m²		 N 68.705484°
W 14.482727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459766387939453 y=0.233997344970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459766387939453 × 217)
    floor (0.459766387939453 × 131072)
    floor (60262.5)     		tx = 60262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233997344970703 × 217)
    floor (0.233997344970703 × 131072)
    floor (30670.5)     		ty = 30670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60262 / 30670 ti = "17/60262/30670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60262/30670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60262 ÷ 217
    60262 ÷ 131072     		x = 0.459762573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30670 ÷ 217
    30670 ÷ 131072     		y = 0.233993530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459762573242188 × 2 - 1) × π
    -0.080474853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25281921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.233993530273438 × 2 - 1) × π
    0.532012939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.67136794215288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25281921} λ = -0.25281921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67136794215288))-π/2
    2×atan(5.31943950793998)-π/2
    2×1.38497532056476-π/2
    2.76995064112952-1.57079632675     		φ = 1.19915431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25281921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.485474°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19915431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.706481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60262 KachelY 30670 -0.25281921 1.19915431 -14.485474 68.706481
    Oben rechts KachelX + 1 60263 KachelY 30670 -0.25277127 1.19915431 -14.482727 68.706481
    Unten links KachelX 60262 KachelY + 1 30671 -0.25281921 1.19913691 -14.485474 68.705484
    Unten rechts KachelX + 1 60263 KachelY + 1 30671 -0.25277127 1.19913691 -14.482727 68.705484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19915431-1.19913691) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dl = 110.855399999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19915431-1.19913691) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dr = 110.855399999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25281921--0.25277127) × cos(1.19915431) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.363145840939732 × 6371000     		do = 110.914087196996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25281921--0.25277127) × cos(1.19913691) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.363162053026959 × 6371000     		du = 110.919038785734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19915431)-sin(1.19913691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363145840939732-0.363162053026959)×R²
    abs(-0.25277127--0.25281921)×1.62120872267413e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.62120872267413e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.62120872267413e-05×40589641000000     		ar = 12295.6999572773m²