Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60261 / 30673
↖ ↑ ↗
← N 68.703489°
W 14.488220°		 ← 110.93 m → N 68.703489°
W 14.485474°		 →
↑
110.92 m
↓
↑
110.92 m
↓
N 68.702491°
W 14.488220°		 ← 110.93 m →
12 304 m²		 N 68.702491°
W 14.485474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459758758544922 y=0.234020233154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459758758544922 × 217)
    floor (0.459758758544922 × 131072)
    floor (60261.5)     		tx = 60261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234020233154297 × 217)
    floor (0.234020233154297 × 131072)
    floor (30673.5)     		ty = 30673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60261 / 30673 ti = "17/60261/30673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60261/30673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60261 ÷ 217
    60261 ÷ 131072     		x = 0.459754943847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30673 ÷ 217
    30673 ÷ 131072     		y = 0.234016418457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459754943847656 × 2 - 1) × π
    -0.0804901123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25286715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234016418457031 × 2 - 1) × π
    0.531967163085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.67122413145402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25286715} λ = -0.25286715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67122413145402))-π/2
    2×atan(5.31867457063121)-π/2
    2×1.38494920668697-π/2
    2.76989841337395-1.57079632675     		φ = 1.19910209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25286715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.488220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19910209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.703489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60261 KachelY 30673 -0.25286715 1.19910209 -14.488220 68.703489
    Oben rechts KachelX + 1 60262 KachelY 30673 -0.25281921 1.19910209 -14.485474 68.703489
    Unten links KachelX 60261 KachelY + 1 30674 -0.25286715 1.19908468 -14.488220 68.702491
    Unten rechts KachelX + 1 60262 KachelY + 1 30674 -0.25281921 1.19908468 -14.485474 68.702491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19910209-1.19908468) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dl = 110.919110000679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19910209-1.19908468) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dr = 110.919110000679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25286715--0.25281921) × cos(1.19910209) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363194495505822 × 6371000     		do = 110.928947553719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25286715--0.25281921) × cos(1.19908468) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363210716580125 × 6371000     		du = 110.933901887342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19910209)-sin(1.19908468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363194495505822-0.363210716580125)×R²
    abs(-0.25281921--0.25286715)×1.62210743031577e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62210743031577e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62210743031577e-05×40589641000000     		ar = 12304.4149013774m²