Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60258 / 40221
↖ ↑ ↗
← N 56.901504°
W 14.496460°		 ← 166.79 m → N 56.901504°
W 14.493713°		 →
↑
166.79 m
↓
↑
166.79 m
↓
N 56.900004°
W 14.496460°		 ← 166.79 m →
27 819 m²		 N 56.900004°
W 14.493713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459735870361328 y=0.306865692138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459735870361328 × 217)
    floor (0.459735870361328 × 131072)
    floor (60258.5)     		tx = 60258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306865692138672 × 217)
    floor (0.306865692138672 × 131072)
    floor (40221.5)     		ty = 40221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60258 / 40221 ti = "17/60258/40221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60258/40221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60258 ÷ 217
    60258 ÷ 131072     		x = 0.459732055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40221 ÷ 217
    40221 ÷ 131072     		y = 0.306861877441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459732055664062 × 2 - 1) × π
    -0.080535888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25301096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306861877441406 × 2 - 1) × π
    0.386276245117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.21352261388172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25301096} λ = -0.25301096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21352261388172))-π/2
    2×atan(3.36531851496524)-π/2
    2×1.28195745829787-π/2
    2.56391491659575-1.57079632675     		φ = 0.99311859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25301096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.496460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99311859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.901504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60258 KachelY 40221 -0.25301096 0.99311859 -14.496460 56.901504
    Oben rechts KachelX + 1 60259 KachelY 40221 -0.25296302 0.99311859 -14.493713 56.901504
    Unten links KachelX 60258 KachelY + 1 40222 -0.25301096 0.99309241 -14.496460 56.900004
    Unten rechts KachelX + 1 60259 KachelY + 1 40222 -0.25296302 0.99309241 -14.493713 56.900004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99311859-0.99309241) × R
    2.61799999999868e-05 × 6371000     		dl = 166.792779999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99311859-0.99309241) × R
    2.61799999999868e-05 × 6371000     		dr = 166.792779999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25301096--0.25296302) × cos(0.99311859) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.546079974383241 × 6371000     		do = 166.786880275266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25301096--0.25296302) × cos(0.99309241) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.546101906047325 × 6371000     		du = 166.793578769998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99311859)-sin(0.99309241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546079974383241-0.546101906047325)×R²
    abs(-0.25296302--0.25301096)×2.19316640838185e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19316640838185e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19316640838185e-05×40589641000000     		ar = 27819.4060605m²