Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60257 / 40050
↖ ↑ ↗
← N 57.157099°
W 14.499206°		 ← 165.61 m → N 57.157099°
W 14.496460°		 →
↑
165.65 m
↓
↑
165.65 m
↓
N 57.155609°
W 14.499206°		 ← 165.62 m →
27 433 m²		 N 57.155609°
W 14.496460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459728240966797 y=0.305561065673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459728240966797 × 217)
    floor (0.459728240966797 × 131072)
    floor (60257.5)     		tx = 60257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305561065673828 × 217)
    floor (0.305561065673828 × 131072)
    floor (40050.5)     		ty = 40050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60257 / 40050 ti = "17/60257/40050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60257/40050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60257 ÷ 217
    60257 ÷ 131072     		x = 0.459724426269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40050 ÷ 217
    40050 ÷ 131072     		y = 0.305557250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459724426269531 × 2 - 1) × π
    -0.0805511474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25305889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305557250976562 × 2 - 1) × π
    0.388885498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22171982371675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25305889} λ = -0.25305889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22171982371675))-π/2
    2×atan(3.39301811159277)-π/2
    2×1.28418794969129-π/2
    2.56837589938258-1.57079632675     		φ = 0.99757957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25305889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.499206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99757957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.157099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60257 KachelY 40050 -0.25305889 0.99757957 -14.499206 57.157099
    Oben rechts KachelX + 1 60258 KachelY 40050 -0.25301096 0.99757957 -14.496460 57.157099
    Unten links KachelX 60257 KachelY + 1 40051 -0.25305889 0.99755357 -14.499206 57.155609
    Unten rechts KachelX + 1 60258 KachelY + 1 40051 -0.25301096 0.99755357 -14.496460 57.155609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99757957-0.99755357) × R
    2.59999999999705e-05 × 6371000     		dl = 165.645999999812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99757957-0.99755357) × R
    2.59999999999705e-05 × 6371000     		dr = 165.645999999812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25305889--0.25301096) × cos(0.99757957) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.542337442820488 × 6371000     		do = 165.609262484583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25305889--0.25301096) × cos(0.99755357) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.542359286816866 × 6371000     		du = 165.61593281166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99757957)-sin(0.99755357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542337442820488-0.542359286816866)×R²
    abs(-0.25301096--0.25305889)×2.18439963773909e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.18439963773909e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.18439963773909e-05×40589641000000     		ar = 27433.0643514194m²