Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60256 / 59996
↖ ↑ ↗
← S 81.592487°
E150.996094°		 ← 89.31 m → S 81.592487°
E151.001587°		 →
↑
89.32 m
↓
↑
89.32 m
↓
S 81.593290°
E150.996094°		 ← 89.31 m →
7 977 m²		 S 81.593290°
E151.001587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919441223144531 y=0.915473937988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919441223144531 × 216)
    floor (0.919441223144531 × 65536)
    floor (60256.5)     		tx = 60256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915473937988281 × 216)
    floor (0.915473937988281 × 65536)
    floor (59996.5)     		ty = 59996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60256 / 59996 ti = "16/60256/59996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60256/59996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60256 ÷ 216
    60256 ÷ 65536     		x = 0.91943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59996 ÷ 216
    59996 ÷ 65536     		y = 0.91546630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91943359375 × 2 - 1) × π
    0.8388671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.63537899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91546630859375 × 2 - 1) × π
    -0.8309326171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.61045180570978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63537899} λ = 2.63537899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61045180570978))-π/2
    2×atan(0.0735013279404332)-π/2
    2×0.0733693930407555-π/2
    0.146738786081511-1.57079632675     		φ = -1.42405754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63537899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.996094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42405754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.592487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60256 KachelY 59996 2.63537899 -1.42405754 150.996094 -81.592487
    Oben rechts KachelX + 1 60257 KachelY 59996 2.63547487 -1.42405754 151.001587 -81.592487
    Unten links KachelX 60256 KachelY + 1 59997 2.63537899 -1.42407156 150.996094 -81.593290
    Unten rechts KachelX + 1 60257 KachelY + 1 59997 2.63547487 -1.42407156 151.001587 -81.593290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42405754--1.42407156) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dl = 89.3214200003758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42405754--1.42407156) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dr = 89.3214200003758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63537899-2.63547487) × cos(-1.42405754) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.146212750218484 × 6371000     		do = 89.3142748657729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63537899-2.63547487) × cos(-1.42407156) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.146198880874691 × 6371000     		du = 89.3058027565899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42405754)-sin(-1.42407156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146212750218484-0.146198880874691)×R²
    abs(2.63547487-2.63537899)×1.38693437938264e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.38693437938264e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.38693437938264e-05×40589641000000     		ar = 7977.29948735509m²