Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60255 / 59997
↖ ↑ ↗
← S 81.593290°
E150.990601°		 ← 89.30 m → S 81.593290°
E150.996094°		 →
↑
89.26 m
↓
↑
89.26 m
↓
S 81.594093°
E150.990601°		 ← 89.29 m →
7 970 m²		 S 81.594093°
E150.996094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919425964355469 y=0.915489196777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919425964355469 × 216)
    floor (0.919425964355469 × 65536)
    floor (60255.5)     		tx = 60255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915489196777344 × 216)
    floor (0.915489196777344 × 65536)
    floor (59997.5)     		ty = 59997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60255 / 59997 ti = "16/60255/59997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60255/59997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60255 ÷ 216
    60255 ÷ 65536     		x = 0.919418334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59997 ÷ 216
    59997 ÷ 65536     		y = 0.915481567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919418334960938 × 2 - 1) × π
    0.838836669921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.63528312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915481567382812 × 2 - 1) × π
    -0.830963134765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.61054767950902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63528312} λ = 2.63528312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61054767950902))-π/2
    2×atan(0.0734942814266678)-π/2
    2×0.0733623843872269-π/2
    0.146724768774454-1.57079632675     		φ = -1.42407156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63528312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.990601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42407156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.593290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60255 KachelY 59997 2.63528312 -1.42407156 150.990601 -81.593290
    Oben rechts KachelX + 1 60256 KachelY 59997 2.63537899 -1.42407156 150.996094 -81.593290
    Unten links KachelX 60255 KachelY + 1 59998 2.63528312 -1.42408557 150.990601 -81.594093
    Unten rechts KachelX + 1 60256 KachelY + 1 59998 2.63537899 -1.42408557 150.996094 -81.594093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42407156--1.42408557) × R
    1.40099999998977e-05 × 6371000     		dl = 89.2577099993484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42407156--1.42408557) × R
    1.40099999998977e-05 × 6371000     		dr = 89.2577099993484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63528312-2.63537899) × cos(-1.42407156) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146198880874691 × 6371000     		do = 89.2964884259459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63528312-2.63537899) × cos(-1.42408557) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146185021394733 × 6371000     		du = 89.2880232250891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42407156)-sin(-1.42408557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146198880874691-0.146185021394733)×R²
    abs(2.63537899-2.63528312)×1.38594799578839e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.38594799578839e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.38594799578839e-05×40589641000000     		ar = 7970.02227543084m²