Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60254 / 59998
↖ ↑ ↗
← S 81.594093°
E150.985108°		 ← 89.29 m → S 81.594093°
E150.990601°		 →
↑
89.32 m
↓
↑
89.32 m
↓
S 81.594896°
E150.985108°		 ← 89.28 m →
7 975 m²		 S 81.594896°
E150.990601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919410705566406 y=0.915504455566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919410705566406 × 216)
    floor (0.919410705566406 × 65536)
    floor (60254.5)     		tx = 60254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915504455566406 × 216)
    floor (0.915504455566406 × 65536)
    floor (59998.5)     		ty = 59998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60254 / 59998 ti = "16/60254/59998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60254/59998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60254 ÷ 216
    60254 ÷ 65536     		x = 0.919403076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59998 ÷ 216
    59998 ÷ 65536     		y = 0.915496826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919403076171875 × 2 - 1) × π
    0.83880615234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.63518725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915496826171875 × 2 - 1) × π
    -0.83099365234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.61064355330826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63518725} λ = 2.63518725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61064355330826))-π/2
    2×atan(0.073487235588446)-π/2
    2×0.0733553763983931-π/2
    0.146710752796786-1.57079632675     		φ = -1.42408557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63518725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.985108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42408557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.594093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60254 KachelY 59998 2.63518725 -1.42408557 150.985108 -81.594093
    Oben rechts KachelX + 1 60255 KachelY 59998 2.63528312 -1.42408557 150.990601 -81.594093
    Unten links KachelX 60254 KachelY + 1 59999 2.63518725 -1.42409959 150.985108 -81.594896
    Unten rechts KachelX + 1 60255 KachelY + 1 59999 2.63528312 -1.42409959 150.990601 -81.594896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42408557--1.42409959) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dl = 89.3214200003758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42408557--1.42409959) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dr = 89.3214200003758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63518725-2.63528312) × cos(-1.42408557) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146185021394733 × 6371000     		do = 89.2880232250891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63518725-2.63528312) × cos(-1.42409959) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146171151993488 × 6371000     		du = 89.2795519644318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42408557)-sin(-1.42409959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146185021394733-0.146171151993488)×R²
    abs(2.63528312-2.63518725)×1.38694012444263e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.38694012444263e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.38694012444263e-05×40589641000000     		ar = 7974.95469115849m²