Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60253 / 85475
↖ ↑ ↗
← S 47.936587°
W 14.510193°		 ← 204.62 m → S 47.936587°
W 14.507446°		 →
↑
204.64 m
↓
↑
204.64 m
↓
S 47.938427°
W 14.510193°		 ← 204.61 m →
41 872 m²		 S 47.938427°
W 14.507446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459697723388672 y=0.652126312255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459697723388672 × 217)
    floor (0.459697723388672 × 131072)
    floor (60253.5)     		tx = 60253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652126312255859 × 217)
    floor (0.652126312255859 × 131072)
    floor (85475.5)     		ty = 85475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60253 / 85475 ti = "17/60253/85475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60253/85475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60253 ÷ 217
    60253 ÷ 131072     		x = 0.459693908691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85475 ÷ 217
    85475 ÷ 131072     		y = 0.652122497558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459693908691406 × 2 - 1) × π
    -0.0806121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25325064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652122497558594 × 2 - 1) × π
    -0.304244995117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.9558138415243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25325064} λ = -0.25325064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.9558138415243))-π/2
    2×atan(0.38449909585398)-π/2
    2×0.367072526775092-π/2
    0.734145053550184-1.57079632675     		φ = -0.83665127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25325064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.510193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83665127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.936587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60253 KachelY 85475 -0.25325064 -0.83665127 -14.510193 -47.936587
    Oben rechts KachelX + 1 60254 KachelY 85475 -0.25320270 -0.83665127 -14.507446 -47.936587
    Unten links KachelX 60253 KachelY + 1 85476 -0.25325064 -0.83668339 -14.510193 -47.938427
    Unten rechts KachelX + 1 60254 KachelY + 1 85476 -0.25320270 -0.83668339 -14.507446 -47.938427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83665127--0.83668339) × R
    3.21200000000799e-05 × 6371000     		dl = 204.636520000509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83665127--0.83668339) × R
    3.21200000000799e-05 × 6371000     		dr = 204.636520000509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25325064--0.25320270) × cos(-0.83665127) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.669952687477797 × 6371000     		do = 204.620795337998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25325064--0.25320270) × cos(-0.83668339) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.669928841122276 × 6371000     		du = 204.613512047216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83665127)-sin(-0.83668339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669952687477797-0.669928841122276)×R²
    abs(-0.25320270--0.25325064)×2.38463555215507e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38463555215507e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38463555215507e-05×40589641000000     		ar = 41872.1422676511m²