Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60252 / 60008
↖ ↑ ↗
← S 81.602119°
E150.974121°		 ← 89.20 m → S 81.602119°
E150.979614°		 →
↑
89.19 m
↓
↑
89.19 m
↓
S 81.602922°
E150.974121°		 ← 89.19 m →
7 956 m²		 S 81.602922°
E150.979614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919380187988281 y=0.915657043457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919380187988281 × 216)
    floor (0.919380187988281 × 65536)
    floor (60252.5)     		tx = 60252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915657043457031 × 216)
    floor (0.915657043457031 × 65536)
    floor (60008.5)     		ty = 60008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60252 / 60008 ti = "16/60252/60008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60252/60008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60252 ÷ 216
    60252 ÷ 65536     		x = 0.91937255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60008 ÷ 216
    60008 ÷ 65536     		y = 0.9156494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91937255859375 × 2 - 1) × π
    0.8387451171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.63499550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9156494140625 × 2 - 1) × π
    -0.831298828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.61160229130066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63499550} λ = 2.63499550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61160229130066))-π/2
    2×atan(0.0734168143468849)-π/2
    2×0.0732853330547062-π/2
    0.146570666109412-1.57079632675     		φ = -1.42422566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63499550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.974121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42422566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.602119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60252 KachelY 60008 2.63499550 -1.42422566 150.974121 -81.602119
    Oben rechts KachelX + 1 60253 KachelY 60008 2.63509137 -1.42422566 150.979614 -81.602119
    Unten links KachelX 60252 KachelY + 1 60009 2.63499550 -1.42423966 150.974121 -81.602922
    Unten rechts KachelX + 1 60253 KachelY + 1 60009 2.63509137 -1.42423966 150.979614 -81.602922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42422566--1.42423966) × R
    1.39999999999585e-05 × 6371000     		dl = 89.1939999997355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42422566--1.42423966) × R
    1.39999999999585e-05 × 6371000     		dr = 89.1939999997355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63499550-2.63509137) × cos(-1.42422566) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146046434910252 × 6371000     		do = 89.2033762952811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63499550-2.63509137) × cos(-1.42423966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146032585007637 × 6371000     		du = 89.1949169441479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42422566)-sin(-1.42423966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146046434910252-0.146032585007637)×R²
    abs(2.63509137-2.63499550)×1.38499026153815e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.38499026153815e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.38499026153815e-05×40589641000000     		ar = 7956.02868372444m²