Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60251 / 83477
↖ ↑ ↗
← S 44.129000°
W 14.515686°		 ← 219.18 m → S 44.129000°
W 14.512940°		 →
↑
219.16 m
↓
↑
219.16 m
↓
S 44.130971°
W 14.515686°		 ← 219.17 m →
48 035 m²		 S 44.130971°
W 14.512940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459682464599609 y=0.636882781982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459682464599609 × 217)
    floor (0.459682464599609 × 131072)
    floor (60251.5)     		tx = 60251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636882781982422 × 217)
    floor (0.636882781982422 × 131072)
    floor (83477.5)     		ty = 83477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60251 / 83477 ti = "17/60251/83477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60251/83477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60251 ÷ 217
    60251 ÷ 131072     		x = 0.459678649902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83477 ÷ 217
    83477 ÷ 131072     		y = 0.636878967285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459678649902344 × 2 - 1) × π
    -0.0806427001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25334651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636878967285156 × 2 - 1) × π
    -0.273757934570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.860035916083427
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25334651} λ = -0.25334651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.860035916083427))-π/2
    2×atan(0.423146884266026)-π/2
    2×0.400299995272977-π/2
    0.800599990545954-1.57079632675     		φ = -0.77019634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25334651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.515686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77019634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.129000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60251 KachelY 83477 -0.25334651 -0.77019634 -14.515686 -44.129000
    Oben rechts KachelX + 1 60252 KachelY 83477 -0.25329858 -0.77019634 -14.512940 -44.129000
    Unten links KachelX 60251 KachelY + 1 83478 -0.25334651 -0.77023074 -14.515686 -44.130971
    Unten rechts KachelX + 1 60252 KachelY + 1 83478 -0.25329858 -0.77023074 -14.512940 -44.130971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77019634--0.77023074) × R
    3.439999999999e-05 × 6371000     		dl = 219.162399999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77019634--0.77023074) × R
    3.439999999999e-05 × 6371000     		dr = 219.162399999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25334651--0.25329858) × cos(-0.77019634) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.717773976581558 × 6371000     		do = 219.180918570251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25334651--0.25329858) × cos(-0.77023074) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.717750024256286 × 6371000     		du = 219.173604439583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77019634)-sin(-0.77023074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717773976581558-0.717750024256286)×R²
    abs(-0.25329858--0.25334651)×2.39523252726359e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39523252726359e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39523252726359e-05×40589641000000     		ar = 48035.4146614324m²