Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60251 / 40083
↖ ↑ ↗
← N 57.107911°
W 14.515686°		 ← 165.83 m → N 57.107911°
W 14.512940°		 →
↑
165.84 m
↓
↑
165.84 m
↓
N 57.106419°
W 14.515686°		 ← 165.84 m →
27 501 m²		 N 57.106419°
W 14.512940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459682464599609 y=0.305812835693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459682464599609 × 217)
    floor (0.459682464599609 × 131072)
    floor (60251.5)     		tx = 60251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305812835693359 × 217)
    floor (0.305812835693359 × 131072)
    floor (40083.5)     		ty = 40083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60251 / 40083 ti = "17/60251/40083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60251/40083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60251 ÷ 217
    60251 ÷ 131072     		x = 0.459678649902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40083 ÷ 217
    40083 ÷ 131072     		y = 0.305809020996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459678649902344 × 2 - 1) × π
    -0.0806427001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25334651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305809020996094 × 2 - 1) × π
    0.388381958007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.22013790602929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25334651} λ = -0.25334651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22013790602929))-π/2
    2×atan(3.38765487944251)-π/2
    2×1.28375869796042-π/2
    2.56751739592085-1.57079632675     		φ = 0.99672107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25334651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.515686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99672107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.107911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60251 KachelY 40083 -0.25334651 0.99672107 -14.515686 57.107911
    Oben rechts KachelX + 1 60252 KachelY 40083 -0.25329858 0.99672107 -14.512940 57.107911
    Unten links KachelX 60251 KachelY + 1 40084 -0.25334651 0.99669504 -14.515686 57.106419
    Unten rechts KachelX + 1 60252 KachelY + 1 40084 -0.25329858 0.99669504 -14.512940 57.106419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99672107-0.99669504) × R
    2.60300000000102e-05 × 6371000     		dl = 165.837130000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99672107-0.99669504) × R
    2.60300000000102e-05 × 6371000     		dr = 165.837130000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25334651--0.25329858) × cos(0.99672107) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.543058520884666 × 6371000     		do = 165.829452346241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25334651--0.25329858) × cos(0.99669504) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.543080377957659 × 6371000     		du = 165.836126666419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99672107)-sin(0.99669504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543058520884666-0.543080377957659)×R²
    abs(-0.25329858--0.25334651)×2.1857072992959e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.1857072992959e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.1857072992959e-05×40589641000000     		ar = 27501.2338731846m²