Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60250 / 30668
↖ ↑ ↗
← N 68.708476°
W 14.518433°		 ← 110.90 m → N 68.708476°
W 14.515686°		 →
↑
110.92 m
↓
↑
110.92 m
↓
N 68.707478°
W 14.518433°		 ← 110.91 m →
12 302 m²		 N 68.707478°
W 14.515686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459674835205078 y=0.233982086181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459674835205078 × 217)
    floor (0.459674835205078 × 131072)
    floor (60250.5)     		tx = 60250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233982086181641 × 217)
    floor (0.233982086181641 × 131072)
    floor (30668.5)     		ty = 30668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60250 / 30668 ti = "17/60250/30668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60250/30668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60250 ÷ 217
    60250 ÷ 131072     		x = 0.459671020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30668 ÷ 217
    30668 ÷ 131072     		y = 0.233978271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459671020507812 × 2 - 1) × π
    -0.080657958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25339445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.233978271484375 × 2 - 1) × π
    0.53204345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.67146381595212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25339445} λ = -0.25339445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67146381595212))-π/2
    2×atan(5.31994952726379)-π/2
    2×1.38499272787279-π/2
    2.76998545574558-1.57079632675     		φ = 1.19918913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25339445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.518433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19918913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.708476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60250 KachelY 30668 -0.25339445 1.19918913 -14.518433 68.708476
    Oben rechts KachelX + 1 60251 KachelY 30668 -0.25334651 1.19918913 -14.515686 68.708476
    Unten links KachelX 60250 KachelY + 1 30669 -0.25339445 1.19917172 -14.518433 68.707478
    Unten rechts KachelX + 1 60251 KachelY + 1 30669 -0.25334651 1.19917172 -14.515686 68.707478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19918913-1.19917172) × R
    1.74099999998845e-05 × 6371000     		dl = 110.919109999264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19918913-1.19917172) × R
    1.74099999998845e-05 × 6371000     		dr = 110.919109999264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25339445--0.25334651) × cos(1.19918913) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363113397800546 × 6371000     		do = 110.904178227073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25339445--0.25334651) × cos(1.19917172) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363129619425173 × 6371000     		du = 110.909132728779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19918913)-sin(1.19917172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363113397800546-0.363129619425173)×R²
    abs(-0.25334651--0.25339445)×1.62216246265556e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62216246265556e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62216246265556e-05×40589641000000     		ar = 12301.6675188157m²