Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60249 / 82022
↖ ↑ ↗
← S 41.191056°
W 14.521179°		 ← 229.84 m → S 41.191056°
W 14.518433°		 →
↑
229.87 m
↓
↑
229.87 m
↓
S 41.193123°
W 14.521179°		 ← 229.83 m →
52 831 m²		 S 41.193123°
W 14.518433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459667205810547 y=0.625782012939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459667205810547 × 217)
    floor (0.459667205810547 × 131072)
    floor (60249.5)     		tx = 60249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625782012939453 × 217)
    floor (0.625782012939453 × 131072)
    floor (82022.5)     		ty = 82022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60249 / 82022 ti = "17/60249/82022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60249/82022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60249 ÷ 217
    60249 ÷ 131072     		x = 0.459663391113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82022 ÷ 217
    82022 ÷ 131072     		y = 0.625778198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459663391113281 × 2 - 1) × π
    -0.0806732177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25344239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625778198242188 × 2 - 1) × π
    -0.251556396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.790287727136246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25344239} λ = -0.25344239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.790287727136246))-π/2
    2×atan(0.453714230603511)-π/2
    2×0.425938386379162-π/2
    0.851876772758324-1.57079632675     		φ = -0.71891955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25344239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.521179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71891955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.191056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60249 KachelY 82022 -0.25344239 -0.71891955 -14.521179 -41.191056
    Oben rechts KachelX + 1 60250 KachelY 82022 -0.25339445 -0.71891955 -14.518433 -41.191056
    Unten links KachelX 60249 KachelY + 1 82023 -0.25344239 -0.71895563 -14.521179 -41.193123
    Unten rechts KachelX + 1 60250 KachelY + 1 82023 -0.25339445 -0.71895563 -14.518433 -41.193123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71891955--0.71895563) × R
    3.60799999999939e-05 × 6371000     		dl = 229.865679999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71891955--0.71895563) × R
    3.60799999999939e-05 × 6371000     		dr = 229.865679999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25344239--0.25339445) × cos(-0.71891955) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.752517722352602 × 6371000     		do = 229.838282212773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25344239--0.25339445) × cos(-0.71895563) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.752493960585091 × 6371000     		du = 229.831024757348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71891955)-sin(-0.71895563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752517722352602-0.752493960585091)×R²
    abs(-0.25339445--0.25344239)×2.37617675110657e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37617675110657e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37617675110657e-05×40589641000000     		ar = 52831.0989164925m²