Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60249 / 60107
↖ ↑ ↗
← S 81.681171°
E150.957642°		 ← 88.37 m → S 81.681171°
E150.963135°		 →
↑
88.37 m
↓
↑
88.37 m
↓
S 81.681966°
E150.957642°		 ← 88.36 m →
7 808 m²		 S 81.681966°
E150.963135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919334411621094 y=0.917167663574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919334411621094 × 216)
    floor (0.919334411621094 × 65536)
    floor (60249.5)     		tx = 60249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917167663574219 × 216)
    floor (0.917167663574219 × 65536)
    floor (60107.5)     		ty = 60107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60249 / 60107 ti = "16/60249/60107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60249/60107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60249 ÷ 216
    60249 ÷ 65536     		x = 0.919326782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60107 ÷ 216
    60107 ÷ 65536     		y = 0.917160034179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919326782226562 × 2 - 1) × π
    0.838653564453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.63470788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917160034179688 × 2 - 1) × π
    -0.834320068359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.62109379742543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63470788} λ = 2.63470788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62109379742543))-π/2
    2×atan(0.0727232747780476)-π/2
    2×0.0725954768150379-π/2
    0.145190953630076-1.57079632675     		φ = -1.42560537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63470788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.957642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42560537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.681171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60249 KachelY 60107 2.63470788 -1.42560537 150.957642 -81.681171
    Oben rechts KachelX + 1 60250 KachelY 60107 2.63480375 -1.42560537 150.963135 -81.681171
    Unten links KachelX 60249 KachelY + 1 60108 2.63470788 -1.42561924 150.957642 -81.681966
    Unten rechts KachelX + 1 60250 KachelY + 1 60108 2.63480375 -1.42561924 150.963135 -81.681966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42560537--1.42561924) × R
    1.38700000000824e-05 × 6371000     		dl = 88.3657700005251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42560537--1.42561924) × R
    1.38700000000824e-05 × 6371000     		dr = 88.3657700005251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63470788-2.63480375) × cos(-1.42560537) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144681379951273 × 6371000     		do = 88.3696174209587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63470788-2.63480375) × cos(-1.42561924) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144667655873391 × 6371000     		du = 88.3612349220338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42560537)-sin(-1.42561924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144681379951273-0.144667655873391)×R²
    abs(2.63480375-2.63470788)×1.37240778821102e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.37240778821102e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.37240778821102e-05×40589641000000     		ar = 7808.47892519957m²