Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60249 / 39710
↖ ↑ ↗
← N 57.660096°
W 14.521179°		 ← 163.38 m → N 57.660096°
W 14.518433°		 →
↑
163.42 m
↓
↑
163.42 m
↓
N 57.658627°
W 14.521179°		 ← 163.39 m →
26 700 m²		 N 57.658627°
W 14.518433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459667205810547 y=0.302967071533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459667205810547 × 217)
    floor (0.459667205810547 × 131072)
    floor (60249.5)     		tx = 60249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302967071533203 × 217)
    floor (0.302967071533203 × 131072)
    floor (39710.5)     		ty = 39710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60249 / 39710 ti = "17/60249/39710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60249/39710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60249 ÷ 217
    60249 ÷ 131072     		x = 0.459663391113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39710 ÷ 217
    39710 ÷ 131072     		y = 0.302963256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459663391113281 × 2 - 1) × π
    -0.0806732177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25344239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302963256835938 × 2 - 1) × π
    0.394073486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23801836958757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25344239} λ = -0.25344239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23801836958757))-π/2
    2×atan(3.4487724964014)-π/2
    2×1.28857742653584-π/2
    2.57715485307167-1.57079632675     		φ = 1.00635853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25344239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.521179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00635853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.660096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60249 KachelY 39710 -0.25344239 1.00635853 -14.521179 57.660096
    Oben rechts KachelX + 1 60250 KachelY 39710 -0.25339445 1.00635853 -14.518433 57.660096
    Unten links KachelX 60249 KachelY + 1 39711 -0.25344239 1.00633288 -14.521179 57.658627
    Unten rechts KachelX + 1 60250 KachelY + 1 39711 -0.25339445 1.00633288 -14.518433 57.658627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00635853-1.00633288) × R
    2.56499999999882e-05 × 6371000     		dl = 163.416149999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00635853-1.00633288) × R
    2.56499999999882e-05 × 6371000     		dr = 163.416149999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25344239--0.25339445) × cos(1.00635853) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.534940901002955 × 6371000     		do = 163.384720545176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25344239--0.25339445) × cos(1.00633288) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.534962572242125 × 6371000     		du = 163.391339499436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00635853)-sin(1.00633288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534940901002955-0.534962572242125)×R²
    abs(-0.25339445--0.25344239)×2.16712391699625e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.16712391699625e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.16712391699625e-05×40589641000000     		ar = 26700.2428236362m²