Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60246 / 85464
↖ ↑ ↗
← S 47.916342°
W 14.529419°		 ← 204.70 m → S 47.916342°
W 14.526672°		 →
↑
204.70 m
↓
↑
204.70 m
↓
S 47.918183°
W 14.529419°		 ← 204.69 m →
41 902 m²		 S 47.918183°
W 14.526672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459644317626953 y=0.652042388916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459644317626953 × 217)
    floor (0.459644317626953 × 131072)
    floor (60246.5)     		tx = 60246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652042388916016 × 217)
    floor (0.652042388916016 × 131072)
    floor (85464.5)     		ty = 85464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60246 / 85464 ti = "17/60246/85464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60246/85464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60246 ÷ 217
    60246 ÷ 131072     		x = 0.459640502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85464 ÷ 217
    85464 ÷ 131072     		y = 0.65203857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459640502929688 × 2 - 1) × π
    -0.080718994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25358620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65203857421875 × 2 - 1) × π
    -0.3040771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.955286535628479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25358620} λ = -0.25358620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.955286535628479))-π/2
    2×atan(0.384701897958836)-π/2
    2×0.367249196350303-π/2
    0.734498392700607-1.57079632675     		φ = -0.83629793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25358620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.529419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83629793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.916342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60246 KachelY 85464 -0.25358620 -0.83629793 -14.529419 -47.916342
    Oben rechts KachelX + 1 60247 KachelY 85464 -0.25353826 -0.83629793 -14.526672 -47.916342
    Unten links KachelX 60246 KachelY + 1 85465 -0.25358620 -0.83633006 -14.529419 -47.918183
    Unten rechts KachelX + 1 60247 KachelY + 1 85465 -0.25353826 -0.83633006 -14.526672 -47.918183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83629793--0.83633006) × R
    3.21300000000191e-05 × 6371000     		dl = 204.700230000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83629793--0.83633006) × R
    3.21300000000191e-05 × 6371000     		dr = 204.700230000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25358620--0.25353826) × cos(-0.83629793) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.670214966608158 × 6371000     		do = 204.700902135238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25358620--0.25353826) × cos(-0.83633006) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.670191120435585 × 6371000     		du = 204.693618900333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83629793)-sin(-0.83633006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670214966608158-0.670191120435585)×R²
    abs(-0.25353826--0.25358620)×2.38461725728945e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38461725728945e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38461725728945e-05×40589641000000     		ar = 41901.5763119536m²