Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60245 / 60123
↖ ↑ ↗
← S 81.693877°
E150.935669°		 ← 88.24 m → S 81.693877°
E150.941162°		 →
↑
88.24 m
↓
↑
88.24 m
↓
S 81.694671°
E150.935669°		 ← 88.24 m →
7 786 m²		 S 81.694671°
E150.941162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919273376464844 y=0.917411804199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919273376464844 × 216)
    floor (0.919273376464844 × 65536)
    floor (60245.5)     		tx = 60245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917411804199219 × 216)
    floor (0.917411804199219 × 65536)
    floor (60123.5)     		ty = 60123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60245 / 60123 ti = "16/60245/60123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60245/60123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60245 ÷ 216
    60245 ÷ 65536     		x = 0.919265747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60123 ÷ 216
    60123 ÷ 65536     		y = 0.917404174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919265747070312 × 2 - 1) × π
    0.838531494140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.63432438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917404174804688 × 2 - 1) × π
    -0.834808349609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.62262777821327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63432438} λ = 2.63432438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62262777821327))-π/2
    2×atan(0.0726118041904375)-π/2
    2×0.072484591763958-π/2
    0.144969183527916-1.57079632675     		φ = -1.42582714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63432438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.935669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42582714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.693877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60245 KachelY 60123 2.63432438 -1.42582714 150.935669 -81.693877
    Oben rechts KachelX + 1 60246 KachelY 60123 2.63442026 -1.42582714 150.941162 -81.693877
    Unten links KachelX 60245 KachelY + 1 60124 2.63432438 -1.42584099 150.935669 -81.694671
    Unten rechts KachelX + 1 60246 KachelY + 1 60124 2.63442026 -1.42584099 150.941162 -81.694671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42582714--1.42584099) × R
    1.38499999999819e-05 × 6371000     		dl = 88.2383499998849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42582714--1.42584099) × R
    1.38499999999819e-05 × 6371000     		dr = 88.2383499998849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63432438-2.63442026) × cos(-1.42582714) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.144461939793508 × 6371000     		do = 88.2447897268862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63432438-2.63442026) × cos(-1.42584099) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.144448235061199 × 6371000     		du = 88.2364181708723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42582714)-sin(-1.42584099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144461939793508-0.144448235061199)×R²
    abs(2.63442026-2.63432438)×1.37047323089112e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.37047323089112e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.37047323089112e-05×40589641000000     		ar = 7786.20529584318m²