Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60245 / 40516
↖ ↑ ↗
← N 56.456420°
W 14.532166°		 ← 168.77 m → N 56.456420°
W 14.529419°		 →
↑
168.77 m
↓
↑
168.77 m
↓
N 56.454903°
W 14.532166°		 ← 168.78 m →
28 483 m²		 N 56.454903°
W 14.529419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459636688232422 y=0.309116363525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459636688232422 × 217)
    floor (0.459636688232422 × 131072)
    floor (60245.5)     		tx = 60245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309116363525391 × 217)
    floor (0.309116363525391 × 131072)
    floor (40516.5)     		ty = 40516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60245 / 40516 ti = "17/60245/40516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60245/40516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60245 ÷ 217
    60245 ÷ 131072     		x = 0.459632873535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40516 ÷ 217
    40516 ÷ 131072     		y = 0.309112548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459632873535156 × 2 - 1) × π
    -0.0807342529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25363414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309112548828125 × 2 - 1) × π
    0.38177490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19938122849381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25363414} λ = -0.25363414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19938122849381))-π/2
    2×atan(3.3180631644566)-π/2
    2×1.27807337194151-π/2
    2.55614674388302-1.57079632675     		φ = 0.98535042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25363414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.532166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98535042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.456420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60245 KachelY 40516 -0.25363414 0.98535042 -14.532166 56.456420
    Oben rechts KachelX + 1 60246 KachelY 40516 -0.25358620 0.98535042 -14.529419 56.456420
    Unten links KachelX 60245 KachelY + 1 40517 -0.25363414 0.98532393 -14.532166 56.454903
    Unten rechts KachelX + 1 60246 KachelY + 1 40517 -0.25358620 0.98532393 -14.529419 56.454903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98535042-0.98532393) × R
    2.64899999999901e-05 × 6371000     		dl = 168.767789999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98535042-0.98532393) × R
    2.64899999999901e-05 × 6371000     		dr = 168.767789999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25363414--0.25358620) × cos(0.98535042) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.552571085304299 × 6371000     		do = 168.769432631754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25363414--0.25358620) × cos(0.98532393) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.552593163618763 × 6371000     		du = 168.776175917287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98535042)-sin(0.98532393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552571085304299-0.552593163618763)×R²
    abs(-0.25358620--0.25363414)×2.20783144637693e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20783144637693e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20783144637693e-05×40589641000000     		ar = 28483.4131911809m²