Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60245 / 30675
↖ ↑ ↗
← N 68.701493°
W 14.532166°		 ← 110.94 m → N 68.701493°
W 14.529419°		 →
↑
110.92 m
↓
↑
110.92 m
↓
N 68.700496°
W 14.532166°		 ← 110.94 m →
12 306 m²		 N 68.700496°
W 14.529419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459636688232422 y=0.234035491943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459636688232422 × 217)
    floor (0.459636688232422 × 131072)
    floor (60245.5)     		tx = 60245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234035491943359 × 217)
    floor (0.234035491943359 × 131072)
    floor (30675.5)     		ty = 30675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60245 / 30675 ti = "17/60245/30675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60245/30675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60245 ÷ 217
    60245 ÷ 131072     		x = 0.459632873535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30675 ÷ 217
    30675 ÷ 131072     		y = 0.234031677246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459632873535156 × 2 - 1) × π
    -0.0807342529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25363414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234031677246094 × 2 - 1) × π
    0.531936645507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.67112825765478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25363414} λ = -0.25363414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67112825765478))-π/2
    2×atan(5.31816467353647)-π/2
    2×1.38493179549112-π/2
    2.76986359098224-1.57079632675     		φ = 1.19906726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25363414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.532166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19906726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.701493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60245 KachelY 30675 -0.25363414 1.19906726 -14.532166 68.701493
    Oben rechts KachelX + 1 60246 KachelY 30675 -0.25358620 1.19906726 -14.529419 68.701493
    Unten links KachelX 60245 KachelY + 1 30676 -0.25363414 1.19904985 -14.532166 68.700496
    Unten rechts KachelX + 1 60246 KachelY + 1 30676 -0.25358620 1.19904985 -14.529419 68.700496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19906726-1.19904985) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dl = 110.919110000679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19906726-1.19904985) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dr = 110.919110000679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25363414--0.25358620) × cos(1.19906726) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.363226946861342 × 6371000     		do = 110.938859033122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25363414--0.25358620) × cos(1.19904985) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.363243167715393 × 6371000     		du = 110.943813299474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19906726)-sin(1.19904985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363226946861342-0.363243167715393)×R²
    abs(-0.25358620--0.25363414)×1.62208540508413e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.62208540508413e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.62208540508413e-05×40589641000000     		ar = 12305.5142701102m²