Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60243 / 55851
↖ ↑ ↗
← N 25.693513°
W 14.537659°		 ← 275.23 m → N 25.693513°
W 14.534912°		 →
↑
275.23 m
↓
↑
275.23 m
↓
N 25.691038°
W 14.537659°		 ← 275.23 m →
75 751 m²		 N 25.691038°
W 14.534912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459621429443359 y=0.426113128662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459621429443359 × 217)
    floor (0.459621429443359 × 131072)
    floor (60243.5)     		tx = 60243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426113128662109 × 217)
    floor (0.426113128662109 × 131072)
    floor (55851.5)     		ty = 55851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60243 / 55851 ti = "17/60243/55851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60243/55851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60243 ÷ 217
    60243 ÷ 131072     		x = 0.459617614746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55851 ÷ 217
    55851 ÷ 131072     		y = 0.426109313964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459617614746094 × 2 - 1) × π
    -0.0807647705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25373001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426109313964844 × 2 - 1) × π
    0.147781372070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.464268872820244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25373001} λ = -0.25373001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.464268872820244))-π/2
    2×atan(1.59085064944254)-π/2
    2×1.0096163630644-π/2
    2.0192327261288-1.57079632675     		φ = 0.44843640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25373001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.537659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44843640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.693513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60243 KachelY 55851 -0.25373001 0.44843640 -14.537659 25.693513
    Oben rechts KachelX + 1 60244 KachelY 55851 -0.25368207 0.44843640 -14.534912 25.693513
    Unten links KachelX 60243 KachelY + 1 55852 -0.25373001 0.44839320 -14.537659 25.691038
    Unten rechts KachelX + 1 60244 KachelY + 1 55852 -0.25368207 0.44839320 -14.534912 25.691038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44843640-0.44839320) × R
    4.3200000000021e-05 × 6371000     		dl = 275.227200000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44843640-0.44839320) × R
    4.3200000000021e-05 × 6371000     		dr = 275.227200000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25373001--0.25368207) × cos(0.44843640) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.901126113458129 × 6371000     		do = 275.227110036411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25373001--0.25368207) × cos(0.44839320) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.901144842282425 × 6371000     		du = 275.232830301431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44843640)-sin(0.44839320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901126113458129-0.901144842282425)×R²
    abs(-0.25368207--0.25373001)×1.87288242952111e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.87288242952111e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.87288242952111e-05×40589641000000     		ar = 75750.7740574986m²