Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60243 / 40080
↖ ↑ ↗
← N 57.112385°
W 14.537659°		 ← 165.84 m → N 57.112385°
W 14.534912°		 →
↑
165.84 m
↓
↑
165.84 m
↓
N 57.110893°
W 14.537659°		 ← 165.85 m →
27 504 m²		 N 57.110893°
W 14.534912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459621429443359 y=0.305789947509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459621429443359 × 217)
    floor (0.459621429443359 × 131072)
    floor (60243.5)     		tx = 60243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305789947509766 × 217)
    floor (0.305789947509766 × 131072)
    floor (40080.5)     		ty = 40080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60243 / 40080 ti = "17/60243/40080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60243/40080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60243 ÷ 217
    60243 ÷ 131072     		x = 0.459617614746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40080 ÷ 217
    40080 ÷ 131072     		y = 0.3057861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459617614746094 × 2 - 1) × π
    -0.0807647705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25373001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3057861328125 × 2 - 1) × π
    0.388427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22028171672815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25373001} λ = -0.25373001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22028171672815))-π/2
    2×atan(3.38814209549082)-π/2
    2×1.28379774441553-π/2
    2.56759548883105-1.57079632675     		φ = 0.99679916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25373001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.537659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99679916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.112385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60243 KachelY 40080 -0.25373001 0.99679916 -14.537659 57.112385
    Oben rechts KachelX + 1 60244 KachelY 40080 -0.25368207 0.99679916 -14.534912 57.112385
    Unten links KachelX 60243 KachelY + 1 40081 -0.25373001 0.99677313 -14.537659 57.110893
    Unten rechts KachelX + 1 60244 KachelY + 1 40081 -0.25368207 0.99677313 -14.534912 57.110893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99679916-0.99677313) × R
    2.60300000000102e-05 × 6371000     		dl = 165.837130000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99679916-0.99677313) × R
    2.60300000000102e-05 × 6371000     		dr = 165.837130000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25373001--0.25368207) × cos(0.99679916) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.542992947458015 × 6371000     		do = 165.844022792229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25373001--0.25368207) × cos(0.99677313) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.543014805634829 × 6371000     		du = 165.850698842057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99679916)-sin(0.99677313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542992947458015-0.543014805634829)×R²
    abs(-0.25368207--0.25373001)×2.18581768142156e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.18581768142156e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.18581768142156e-05×40589641000000     		ar = 27503.6503376583m²