Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60242 / 60098
↖ ↑ ↗
← S 81.674015°
E150.919189°		 ← 88.45 m → S 81.674015°
E150.924682°		 →
↑
88.43 m
↓
↑
88.43 m
↓
S 81.674811°
E150.919189°		 ← 88.44 m →
7 821 m²		 S 81.674811°
E150.924682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919227600097656 y=0.917030334472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919227600097656 × 216)
    floor (0.919227600097656 × 65536)
    floor (60242.5)     		tx = 60242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917030334472656 × 216)
    floor (0.917030334472656 × 65536)
    floor (60098.5)     		ty = 60098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60242 / 60098 ti = "16/60242/60098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60242/60098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60242 ÷ 216
    60242 ÷ 65536     		x = 0.919219970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60098 ÷ 216
    60098 ÷ 65536     		y = 0.917022705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919219970703125 × 2 - 1) × π
    0.83843994140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.63403676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917022705078125 × 2 - 1) × π
    -0.83404541015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.62023093323227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63403676} λ = 2.63403676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62023093323227))-π/2
    2×atan(0.072786052168149)-π/2
    2×0.0726579236589213-π/2
    0.145315847317843-1.57079632675     		φ = -1.42548048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63403676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.919189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42548048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.674015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60242 KachelY 60098 2.63403676 -1.42548048 150.919189 -81.674015
    Oben rechts KachelX + 1 60243 KachelY 60098 2.63413263 -1.42548048 150.924682 -81.674015
    Unten links KachelX 60242 KachelY + 1 60099 2.63403676 -1.42549436 150.919189 -81.674811
    Unten rechts KachelX + 1 60243 KachelY + 1 60099 2.63413263 -1.42549436 150.924682 -81.674811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42548048--1.42549436) × R
    1.38800000000217e-05 × 6371000     		dl = 88.4294800001379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42548048--1.42549436) × R
    1.38800000000217e-05 × 6371000     		dr = 88.4294800001379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63403676-2.63413263) × cos(-1.42548048) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144804954767007 × 6371000     		do = 88.445095407089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63403676-2.63413263) × cos(-1.42549436) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144791221045218 × 6371000     		du = 88.4367070177839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42548048)-sin(-1.42549436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144804954767007-0.144791221045218)×R²
    abs(2.63413263-2.63403676)×1.37337217885891e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.37337217885891e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.37337217885891e-05×40589641000000     		ar = 7820.78290489317m²