Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60242 / 40082
↖ ↑ ↗
← N 57.109402°
W 14.540405°		 ← 165.86 m → N 57.109402°
W 14.537659°		 →
↑
165.84 m
↓
↑
165.84 m
↓
N 57.107911°
W 14.540405°		 ← 165.86 m →
27 506 m²		 N 57.107911°
W 14.537659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459613800048828 y=0.305805206298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459613800048828 × 217)
    floor (0.459613800048828 × 131072)
    floor (60242.5)     		tx = 60242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305805206298828 × 217)
    floor (0.305805206298828 × 131072)
    floor (40082.5)     		ty = 40082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60242 / 40082 ti = "17/60242/40082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60242/40082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60242 ÷ 217
    60242 ÷ 131072     		x = 0.459609985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40082 ÷ 217
    40082 ÷ 131072     		y = 0.305801391601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459609985351562 × 2 - 1) × π
    -0.080780029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25377795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305801391601562 × 2 - 1) × π
    0.388397216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22018584292891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25377795} λ = -0.25377795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22018584292891))-π/2
    2×atan(3.3878172770068)-π/2
    2×1.28377171396938-π/2
    2.56754342793876-1.57079632675     		φ = 0.99674710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25377795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.540405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99674710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.109402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60242 KachelY 40082 -0.25377795 0.99674710 -14.540405 57.109402
    Oben rechts KachelX + 1 60243 KachelY 40082 -0.25373001 0.99674710 -14.537659 57.109402
    Unten links KachelX 60242 KachelY + 1 40083 -0.25377795 0.99672107 -14.540405 57.107911
    Unten rechts KachelX + 1 60243 KachelY + 1 40083 -0.25373001 0.99672107 -14.537659 57.107911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99674710-0.99672107) × R
    2.60300000000102e-05 × 6371000     		dl = 165.837130000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99674710-0.99672107) × R
    2.60300000000102e-05 × 6371000     		dr = 165.837130000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25377795--0.25373001) × cos(0.99674710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.543036663443718 × 6371000     		do = 165.85737477932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25377795--0.25373001) × cos(0.99672107) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.543058520884666 × 6371000     		du = 165.864050604396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99674710)-sin(0.99672107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543036663443718-0.543058520884666)×R²
    abs(-0.25373001--0.25377795)×2.18574409482919e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.18574409482919e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.18574409482919e-05×40589641000000     		ar = 27505.8645742556m²