Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60242 / 34226
↖ ↑ ↗
← N 64.865274°
W 14.540405°		 ← 129.73 m → N 64.865274°
W 14.537659°		 →
↑
129.71 m
↓
↑
129.71 m
↓
N 64.864108°
W 14.540405°		 ← 129.73 m →
16 828 m²		 N 64.864108°
W 14.537659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459613800048828 y=0.261127471923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459613800048828 × 217)
    floor (0.459613800048828 × 131072)
    floor (60242.5)     		tx = 60242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261127471923828 × 217)
    floor (0.261127471923828 × 131072)
    floor (34226.5)     		ty = 34226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60242 / 34226 ti = "17/60242/34226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60242/34226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60242 ÷ 217
    60242 ÷ 131072     		x = 0.459609985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34226 ÷ 217
    34226 ÷ 131072     		y = 0.261123657226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459609985351562 × 2 - 1) × π
    -0.080780029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25377795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261123657226562 × 2 - 1) × π
    0.477752685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50090432710396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25377795} λ = -0.25377795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50090432710396))-π/2
    2×atan(4.48574381636792)-π/2
    2×1.35145447030457-π/2
    2.70290894060914-1.57079632675     		φ = 1.13211261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25377795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.540405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13211261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.865274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60242 KachelY 34226 -0.25377795 1.13211261 -14.540405 64.865274
    Oben rechts KachelX + 1 60243 KachelY 34226 -0.25373001 1.13211261 -14.537659 64.865274
    Unten links KachelX 60242 KachelY + 1 34227 -0.25377795 1.13209225 -14.540405 64.864108
    Unten rechts KachelX + 1 60243 KachelY + 1 34227 -0.25373001 1.13209225 -14.537659 64.864108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13211261-1.13209225) × R
    2.03600000001636e-05 × 6371000     		dl = 129.713560001042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13211261-1.13209225) × R
    2.03600000001636e-05 × 6371000     		dr = 129.713560001042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25377795--0.25373001) × cos(1.13211261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.424748186999189 × 6371000     		do = 129.729029327801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25377795--0.25373001) × cos(1.13209225) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.424766619054031 × 6371000     		du = 129.73465895179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13211261)-sin(1.13209225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424748186999189-0.424766619054031)×R²
    abs(-0.25373001--0.25377795)×1.84320548412553e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84320548412553e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84320548412553e-05×40589641000000     		ar = 16827.9793494347m²