Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60242 / 30643
↖ ↑ ↗
← N 68.733395°
W 14.540405°		 ← 110.78 m → N 68.733395°
W 14.537659°		 →
↑
110.79 m
↓
↑
110.79 m
↓
N 68.732399°
W 14.540405°		 ← 110.79 m →
12 274 m²		 N 68.732399°
W 14.537659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459613800048828 y=0.233791351318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459613800048828 × 217)
    floor (0.459613800048828 × 131072)
    floor (60242.5)     		tx = 60242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233791351318359 × 217)
    floor (0.233791351318359 × 131072)
    floor (30643.5)     		ty = 30643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60242 / 30643 ti = "17/60242/30643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60242/30643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60242 ÷ 217
    60242 ÷ 131072     		x = 0.459609985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30643 ÷ 217
    30643 ÷ 131072     		y = 0.233787536621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459609985351562 × 2 - 1) × π
    -0.080780029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25377795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.233787536621094 × 2 - 1) × π
    0.532424926757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.67266223844262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25377795} λ = -0.25377795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67266223844262))-π/2
    2×atan(5.32632889625172)-π/2
    2×1.38521018806454-π/2
    2.77042037612907-1.57079632675     		φ = 1.19962405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25377795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.540405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19962405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.733395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60242 KachelY 30643 -0.25377795 1.19962405 -14.540405 68.733395
    Oben rechts KachelX + 1 60243 KachelY 30643 -0.25373001 1.19962405 -14.537659 68.733395
    Unten links KachelX 60242 KachelY + 1 30644 -0.25377795 1.19960666 -14.540405 68.732399
    Unten rechts KachelX + 1 60243 KachelY + 1 30644 -0.25373001 1.19960666 -14.537659 68.732399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19962405-1.19960666) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dl = 110.791690000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19962405-1.19960666) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dr = 110.791690000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25377795--0.25373001) × cos(1.19962405) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362708128955256 × 6371000     		do = 110.780398690102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25377795--0.25373001) × cos(1.19960666) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362724334689959 × 6371000     		du = 110.785348338616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19962405)-sin(1.19960666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362708128955256-0.362724334689959)×R²
    abs(-0.25373001--0.25377795)×1.62057347032896e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62057347032896e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62057347032896e-05×40589641000000     		ar = 12273.8217802114m²