Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60241 / 40773
↖ ↑ ↗
← N 56.064369°
W 14.543152°		 ← 170.47 m → N 56.064369°
W 14.540405°		 →
↑
170.49 m
↓
↑
170.49 m
↓
N 56.062836°
W 14.543152°		 ← 170.48 m →
29 064 m²		 N 56.062836°
W 14.540405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459606170654297 y=0.311077117919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459606170654297 × 217)
    floor (0.459606170654297 × 131072)
    floor (60241.5)     		tx = 60241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311077117919922 × 217)
    floor (0.311077117919922 × 131072)
    floor (40773.5)     		ty = 40773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60241 / 40773 ti = "17/60241/40773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60241/40773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60241 ÷ 217
    60241 ÷ 131072     		x = 0.459602355957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40773 ÷ 217
    40773 ÷ 131072     		y = 0.311073303222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459602355957031 × 2 - 1) × π
    -0.0807952880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25382588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311073303222656 × 2 - 1) × π
    0.377853393554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.18706144529145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25382588} λ = -0.25382588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18706144529145))-π/2
    2×atan(3.27743611767619)-π/2
    2×1.27465208540614-π/2
    2.54930417081228-1.57079632675     		φ = 0.97850784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25382588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.543152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97850784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.064369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60241 KachelY 40773 -0.25382588 0.97850784 -14.543152 56.064369
    Oben rechts KachelX + 1 60242 KachelY 40773 -0.25377795 0.97850784 -14.540405 56.064369
    Unten links KachelX 60241 KachelY + 1 40774 -0.25382588 0.97848108 -14.543152 56.062836
    Unten rechts KachelX + 1 60242 KachelY + 1 40774 -0.25377795 0.97848108 -14.540405 56.062836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97850784-0.97848108) × R
    2.67600000000145e-05 × 6371000     		dl = 170.487960000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97850784-0.97848108) × R
    2.67600000000145e-05 × 6371000     		dr = 170.487960000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25382588--0.25377795) × cos(0.97850784) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.558261161145919 × 6371000     		do = 170.471761437779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25382588--0.25377795) × cos(0.97848108) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.55828336278891 × 6371000     		du = 170.478540976552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97850784)-sin(0.97848108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558261161145919-0.55828336278891)×R²
    abs(-0.25377795--0.25382588)×2.22016429912708e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.22016429912708e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.22016429912708e-05×40589641000000     		ar = 29063.9607617739m²