Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60239 / 40775
↖ ↑ ↗
← N 56.061303°
W 14.548645°		 ← 170.52 m → N 56.061303°
W 14.545898°		 →
↑
170.49 m
↓
↑
170.49 m
↓
N 56.059770°
W 14.548645°		 ← 170.53 m →
29 072 m²		 N 56.059770°
W 14.545898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459590911865234 y=0.311092376708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459590911865234 × 217)
    floor (0.459590911865234 × 131072)
    floor (60239.5)     		tx = 60239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311092376708984 × 217)
    floor (0.311092376708984 × 131072)
    floor (40775.5)     		ty = 40775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60239 / 40775 ti = "17/60239/40775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60239/40775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60239 ÷ 217
    60239 ÷ 131072     		x = 0.459587097167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40775 ÷ 217
    40775 ÷ 131072     		y = 0.311088562011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459587097167969 × 2 - 1) × π
    -0.0808258056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25392176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311088562011719 × 2 - 1) × π
    0.377822875976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.18696557149221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25392176} λ = -0.25392176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18696557149221))-π/2
    2×atan(3.27712191248609)-π/2
    2×1.2746253230327-π/2
    2.5492506460654-1.57079632675     		φ = 0.97845432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25392176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.548645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97845432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.061303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60239 KachelY 40775 -0.25392176 0.97845432 -14.548645 56.061303
    Oben rechts KachelX + 1 60240 KachelY 40775 -0.25387382 0.97845432 -14.545898 56.061303
    Unten links KachelX 60239 KachelY + 1 40776 -0.25392176 0.97842756 -14.548645 56.059770
    Unten rechts KachelX + 1 60240 KachelY + 1 40776 -0.25387382 0.97842756 -14.545898 56.059770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97845432-0.97842756) × R
    2.67600000000145e-05 × 6371000     		dl = 170.487960000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97845432-0.97842756) × R
    2.67600000000145e-05 × 6371000     		dr = 170.487960000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25392176--0.25387382) × cos(0.97845432) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.558305564032116 × 6371000     		do = 170.520890040712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25392176--0.25387382) × cos(0.97842756) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.55832776487552 × 6371000     		du = 170.527670749737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97845432)-sin(0.97842756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558305564032116-0.55832776487552)×R²
    abs(-0.25387382--0.25392176)×2.22008434045406e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22008434045406e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22008434045406e-05×40589641000000     		ar = 29072.3366968108m²