Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 60238 / 60114
↖ ↑ ↗
← S 81.686733°
E150.897217°		 ← 88.31 m → S 81.686733°
E150.902710°		 →
↑
88.30 m
↓
↑
88.30 m
↓
S 81.687527°
E150.897217°		 ← 88.30 m →
7 798 m²		 S 81.687527°
E150.902710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919166564941406 y=0.917274475097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919166564941406 × 216)
    floor (0.919166564941406 × 65536)
    floor (60238.5)     		tx = 60238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917274475097656 × 216)
    floor (0.917274475097656 × 65536)
    floor (60114.5)     		ty = 60114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60238 / 60114 ti = "16/60238/60114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60238/60114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60238 ÷ 216
    60238 ÷ 65536     		x = 0.919158935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60114 ÷ 216
    60114 ÷ 65536     		y = 0.917266845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919158935546875 × 2 - 1) × π
    0.83831787109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.63365327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917266845703125 × 2 - 1) × π
    -0.83453369140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.62176491402011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63365327} λ = 2.63365327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62176491402011))-π/2
    2×atan(0.0726744853550515)-π/2
    2×0.0725469438947068-π/2
    0.145093887789414-1.57079632675     		φ = -1.42570244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63365327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.897217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42570244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.686733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60238 KachelY 60114 2.63365327 -1.42570244 150.897217 -81.686733
    Oben rechts KachelX + 1 60239 KachelY 60114 2.63374914 -1.42570244 150.902710 -81.686733
    Unten links KachelX 60238 KachelY + 1 60115 2.63365327 -1.42571630 150.897217 -81.687527
    Unten rechts KachelX + 1 60239 KachelY + 1 60115 2.63374914 -1.42571630 150.902710 -81.687527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42570244--1.42571630) × R
    1.38599999999212e-05 × 6371000     		dl = 88.3020599994977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42570244--1.42571630) × R
    1.38599999999212e-05 × 6371000     		dr = 88.3020599994977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63365327-2.63374914) × cos(-1.42570244) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144585330611593 × 6371000     		do = 88.3109516589655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63365327-2.63374914) × cos(-1.42571630) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144571616233935 × 6371000     		du = 88.3025750848188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42570244)-sin(-1.42571630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144585330611593-0.144571616233935)×R²
    abs(2.63374914-2.63365327)×1.3714377658014e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.3714377658014e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.3714377658014e-05×40589641000000     		ar = 7797.66911750542m²