Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60238 / 55861
↖ ↑ ↗
← N 25.668760°
W 14.551391°		 ← 275.23 m → N 25.668760°
W 14.548645°		 →
↑
275.23 m
↓
↑
275.23 m
↓
N 25.666285°
W 14.551391°		 ← 275.23 m →
75 751 m²		 N 25.666285°
W 14.548645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459583282470703 y=0.426189422607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459583282470703 × 217)
    floor (0.459583282470703 × 131072)
    floor (60238.5)     		tx = 60238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426189422607422 × 217)
    floor (0.426189422607422 × 131072)
    floor (55861.5)     		ty = 55861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60238 / 55861 ti = "17/60238/55861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60238/55861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60238 ÷ 217
    60238 ÷ 131072     		x = 0.459579467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55861 ÷ 217
    55861 ÷ 131072     		y = 0.426185607910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459579467773438 × 2 - 1) × π
    -0.080841064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25396969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426185607910156 × 2 - 1) × π
    0.147628784179688 × 3.1415926535     		Φ = 0.463789503824043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25396969} λ = -0.25396969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.463789503824043))-π/2
    2×atan(1.59008822771888)-π/2
    2×1.00940035466467-π/2
    2.01880070932935-1.57079632675     		φ = 0.44800438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25396969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.551391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44800438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.668760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60238 KachelY 55861 -0.25396969 0.44800438 -14.551391 25.668760
    Oben rechts KachelX + 1 60239 KachelY 55861 -0.25392176 0.44800438 -14.548645 25.668760
    Unten links KachelX 60238 KachelY + 1 55862 -0.25396969 0.44796118 -14.551391 25.666285
    Unten rechts KachelX + 1 60239 KachelY + 1 55862 -0.25392176 0.44796118 -14.548645 25.666285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44800438-0.44796118) × R
    4.31999999999655e-05 × 6371000     		dl = 275.22719999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44800438-0.44796118) × R
    4.31999999999655e-05 × 6371000     		dr = 275.22719999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25396969--0.25392176) × cos(0.44800438) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.901313334681378 × 6371000     		do = 275.226869544543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25396969--0.25392176) × cos(0.44796118) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.901332046685796 × 6371000     		du = 275.232583480198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44800438)-sin(0.44796118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901313334681378-0.901332046685796)×R²
    abs(-0.25392176--0.25396969)×1.87120044184974e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.87120044184974e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.87120044184974e-05×40589641000000     		ar = 75750.7069964864m²