Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60238 / 30701
↖ ↑ ↗
← N 68.675540°
W 14.551391°		 ← 111.04 m → N 68.675540°
W 14.548645°		 →
↑
111.05 m
↓
↑
111.05 m
↓
N 68.674541°
W 14.551391°		 ← 111.05 m →
12 331 m²		 N 68.674541°
W 14.548645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459583282470703 y=0.234233856201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459583282470703 × 217)
    floor (0.459583282470703 × 131072)
    floor (60238.5)     		tx = 60238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234233856201172 × 217)
    floor (0.234233856201172 × 131072)
    floor (30701.5)     		ty = 30701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60238 / 30701 ti = "17/60238/30701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60238/30701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60238 ÷ 217
    60238 ÷ 131072     		x = 0.459579467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30701 ÷ 217
    30701 ÷ 131072     		y = 0.234230041503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459579467773438 × 2 - 1) × π
    -0.080841064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25396969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234230041503906 × 2 - 1) × π
    0.531539916992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.66988189826466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25396969} λ = -0.25396969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66988189826466))-π/2
    2×atan(5.31154045799154)-π/2
    2×1.38470530836649-π/2
    2.76941061673298-1.57079632675     		φ = 1.19861429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25396969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.551391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19861429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.675540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60238 KachelY 30701 -0.25396969 1.19861429 -14.551391 68.675540
    Oben rechts KachelX + 1 60239 KachelY 30701 -0.25392176 1.19861429 -14.548645 68.675540
    Unten links KachelX 60238 KachelY + 1 30702 -0.25396969 1.19859686 -14.551391 68.674541
    Unten rechts KachelX + 1 60239 KachelY + 1 30702 -0.25392176 1.19859686 -14.548645 68.674541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19861429-1.19859686) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dl = 111.046529999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19861429-1.19859686) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dr = 111.046529999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25396969--0.25392176) × cos(1.19861429) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.363648942046944 × 6371000     		do = 111.044579150875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25396969--0.25392176) × cos(1.19859686) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.363665178665379 × 6371000     		du = 111.049537197641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19861429)-sin(1.19859686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363648942046944-0.363665178665379)×R²
    abs(-0.25392176--0.25396969)×1.62366184342511e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.62366184342511e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.62366184342511e-05×40589641000000     		ar = 12331.3904772486m²