Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60237 / 60109
↖ ↑ ↗
← S 81.682760°
E150.891724°		 ← 88.36 m → S 81.682760°
E150.897217°		 →
↑
88.37 m
↓
↑
88.37 m
↓
S 81.683555°
E150.891724°		 ← 88.35 m →
7 808 m²		 S 81.683555°
E150.897217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919151306152344 y=0.917198181152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919151306152344 × 216)
    floor (0.919151306152344 × 65536)
    floor (60237.5)     		tx = 60237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917198181152344 × 216)
    floor (0.917198181152344 × 65536)
    floor (60109.5)     		ty = 60109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60237 / 60109 ti = "16/60237/60109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60237/60109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60237 ÷ 216
    60237 ÷ 65536     		x = 0.919143676757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60109 ÷ 216
    60109 ÷ 65536     		y = 0.917190551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919143676757812 × 2 - 1) × π
    0.838287353515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.63355739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917190551757812 × 2 - 1) × π
    -0.834381103515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.62128554502391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63355739} λ = 2.63355739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62128554502391))-π/2
    2×atan(0.0727093316015833)-π/2
    2×0.0725816069775691-π/2
    0.145163213955138-1.57079632675     		φ = -1.42563311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63355739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.891724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42563311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.682760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60237 KachelY 60109 2.63355739 -1.42563311 150.891724 -81.682760
    Oben rechts KachelX + 1 60238 KachelY 60109 2.63365327 -1.42563311 150.897217 -81.682760
    Unten links KachelX 60237 KachelY + 1 60110 2.63355739 -1.42564698 150.891724 -81.683555
    Unten rechts KachelX + 1 60238 KachelY + 1 60110 2.63365327 -1.42564698 150.897217 -81.683555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42563311--1.42564698) × R
    1.38700000000824e-05 × 6371000     		dl = 88.3657700005251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42563311--1.42564698) × R
    1.38700000000824e-05 × 6371000     		dr = 88.3657700005251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63355739-2.63365327) × cos(-1.42563311) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.144653931767678 × 6371000     		do = 88.3620683080472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63355739-2.63365327) × cos(-1.42564698) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.144640207634137 × 6371000     		du = 88.3536849007621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42563311)-sin(-1.42564698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144653931767678-0.144640207634137)×R²
    abs(2.63365327-2.63355739)×1.37241335409211e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.37241335409211e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.37241335409211e-05×40589641000000     		ar = 7807.81180190616m²