Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60236 / 39379
↖ ↑ ↗
← N 58.143170°
W 14.556885°		 ← 161.20 m → N 58.143170°
W 14.554138°		 →
↑
161.19 m
↓
↑
161.19 m
↓
N 58.141720°
W 14.556885°		 ← 161.21 m →
25 984 m²		 N 58.141720°
W 14.554138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459568023681641 y=0.300441741943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459568023681641 × 217)
    floor (0.459568023681641 × 131072)
    floor (60236.5)     		tx = 60236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300441741943359 × 217)
    floor (0.300441741943359 × 131072)
    floor (39379.5)     		ty = 39379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60236 / 39379 ti = "17/60236/39379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60236/39379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60236 ÷ 217
    60236 ÷ 131072     		x = 0.459564208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39379 ÷ 217
    39379 ÷ 131072     		y = 0.300437927246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459564208984375 × 2 - 1) × π
    -0.08087158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25406557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300437927246094 × 2 - 1) × π
    0.399124145507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.25388548336181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25406557} λ = -0.25406557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25388548336181))-π/2
    2×atan(3.50393100792719)-π/2
    2×1.29279303987797-π/2
    2.58558607975595-1.57079632675     		φ = 1.01478975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25406557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.556885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01478975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.143170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60236 KachelY 39379 -0.25406557 1.01478975 -14.556885 58.143170
    Oben rechts KachelX + 1 60237 KachelY 39379 -0.25401763 1.01478975 -14.554138 58.143170
    Unten links KachelX 60236 KachelY + 1 39380 -0.25406557 1.01476445 -14.556885 58.141720
    Unten rechts KachelX + 1 60237 KachelY + 1 39380 -0.25401763 1.01476445 -14.554138 58.141720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01478975-1.01476445) × R
    2.53000000001169e-05 × 6371000     		dl = 161.186300000745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01478975-1.01476445) × R
    2.53000000001169e-05 × 6371000     		dr = 161.186300000745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25406557--0.25401763) × cos(1.01478975) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.527798523171364 × 6371000     		do = 161.203254510602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25406557--0.25401763) × cos(1.01476445) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.527820012053346 × 6371000     		du = 161.209817768283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01478975)-sin(1.01476445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527798523171364-0.527820012053346)×R²
    abs(-0.25401763--0.25406557)×2.14888819813908e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14888819813908e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14888819813908e-05×40589641000000     		ar = 25984.2850977209m²