Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60236 / 30705
↖ ↑ ↗
← N 68.671544°
W 14.556885°		 ← 111.09 m → N 68.671544°
W 14.554138°		 →
↑
111.05 m
↓
↑
111.05 m
↓
N 68.670546°
W 14.556885°		 ← 111.09 m →
12 336 m²		 N 68.670546°
W 14.554138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459568023681641 y=0.234264373779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459568023681641 × 217)
    floor (0.459568023681641 × 131072)
    floor (60236.5)     		tx = 60236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234264373779297 × 217)
    floor (0.234264373779297 × 131072)
    floor (30705.5)     		ty = 30705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60236 / 30705 ti = "17/60236/30705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60236/30705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60236 ÷ 217
    60236 ÷ 131072     		x = 0.459564208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30705 ÷ 217
    30705 ÷ 131072     		y = 0.234260559082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459564208984375 × 2 - 1) × π
    -0.08087158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25406557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234260559082031 × 2 - 1) × π
    0.531478881835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.66969015066618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25406557} λ = -0.25406557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66969015066618))-π/2
    2×atan(5.31052208050332)-π/2
    2×1.38467044084693-π/2
    2.76934088169386-1.57079632675     		φ = 1.19854455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25406557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.556885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19854455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.671544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60236 KachelY 30705 -0.25406557 1.19854455 -14.556885 68.671544
    Oben rechts KachelX + 1 60237 KachelY 30705 -0.25401763 1.19854455 -14.554138 68.671544
    Unten links KachelX 60236 KachelY + 1 30706 -0.25406557 1.19852712 -14.556885 68.670546
    Unten rechts KachelX + 1 60237 KachelY + 1 30706 -0.25401763 1.19852712 -14.554138 68.670546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19854455-1.19852712) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dl = 111.046529999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19854455-1.19852712) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dr = 111.046529999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25406557--0.25401763) × cos(1.19854455) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.363713906487976 × 6371000     		do = 111.087589037437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25406557--0.25401763) × cos(1.19852712) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.363730142664321 × 6371000     		du = 111.092547983612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19854455)-sin(1.19852712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363713906487976-0.363730142664321)×R²
    abs(-0.25401763--0.25406557)×1.62361763447749e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.62361763447749e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.62361763447749e-05×40589641000000     		ar = 12336.1666260406m²