Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60235 / 60111
↖ ↑ ↗
← S 81.684350°
E150.880737°		 ← 88.35 m → S 81.684350°
E150.886231°		 →
↑
88.30 m
↓
↑
88.30 m
↓
S 81.685144°
E150.880737°		 ← 88.34 m →
7 801 m²		 S 81.685144°
E150.886231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919120788574219 y=0.917228698730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919120788574219 × 216)
    floor (0.919120788574219 × 65536)
    floor (60235.5)     		tx = 60235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917228698730469 × 216)
    floor (0.917228698730469 × 65536)
    floor (60111.5)     		ty = 60111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60235 / 60111 ti = "16/60235/60111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60235/60111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60235 ÷ 216
    60235 ÷ 65536     		x = 0.919113159179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60111 ÷ 216
    60111 ÷ 65536     		y = 0.917221069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919113159179688 × 2 - 1) × π
    0.838226318359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.63336564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917221069335938 × 2 - 1) × π
    -0.834442138671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.62147729262239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63336564} λ = 2.63336564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62147729262239))-π/2
    2×atan(0.0726953910984333)-π/2
    2×0.0725677397713867-π/2
    0.145135479542773-1.57079632675     		φ = -1.42566085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63336564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.880737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42566085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.684350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60235 KachelY 60111 2.63336564 -1.42566085 150.880737 -81.684350
    Oben rechts KachelX + 1 60236 KachelY 60111 2.63346152 -1.42566085 150.886231 -81.684350
    Unten links KachelX 60235 KachelY + 1 60112 2.63336564 -1.42567471 150.880737 -81.685144
    Unten rechts KachelX + 1 60236 KachelY + 1 60112 2.63346152 -1.42567471 150.886231 -81.685144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42566085--1.42567471) × R
    1.38599999999212e-05 × 6371000     		dl = 88.3020599994977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42566085--1.42567471) × R
    1.38599999999212e-05 × 6371000     		dr = 88.3020599994977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63336564-2.63346152) × cos(-1.42566085) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.144626483472771 × 6371000     		do = 88.3453014764797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63336564-2.63346152) × cos(-1.42567471) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.144612769178465 × 6371000     		du = 88.3369240795059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42566085)-sin(-1.42567471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144626483472771-0.144612769178465)×R²
    abs(2.63346152-2.63336564)×1.37142943057167e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.37142943057167e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.37142943057167e-05×40589641000000     		ar = 7800.70224107989m²