Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60234 / 85595
↖ ↑ ↗
← S 48.156925°
W 14.562378°		 ← 203.75 m → S 48.156925°
W 14.559631°		 →
↑
203.74 m
↓
↑
203.74 m
↓
S 48.158757°
W 14.562378°		 ← 203.74 m →
41 512 m²		 S 48.158757°
W 14.559631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459552764892578 y=0.653041839599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459552764892578 × 217)
    floor (0.459552764892578 × 131072)
    floor (60234.5)     		tx = 60234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653041839599609 × 217)
    floor (0.653041839599609 × 131072)
    floor (85595.5)     		ty = 85595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60234 / 85595 ti = "17/60234/85595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60234/85595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60234 ÷ 217
    60234 ÷ 131072     		x = 0.459548950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85595 ÷ 217
    85595 ÷ 131072     		y = 0.653038024902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459548950195312 × 2 - 1) × π
    -0.080902099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25416144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653038024902344 × 2 - 1) × π
    -0.306076049804688 × 3.1415926535     		Φ = -0.961566269478706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25416144} λ = -0.25416144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.961566269478706))-π/2
    2×atan(0.382293641945518)-π/2
    2×0.365149712982924-π/2
    0.730299425965847-1.57079632675     		φ = -0.84049690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25416144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.562378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84049690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.156925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60234 KachelY 85595 -0.25416144 -0.84049690 -14.562378 -48.156925
    Oben rechts KachelX + 1 60235 KachelY 85595 -0.25411350 -0.84049690 -14.559631 -48.156925
    Unten links KachelX 60234 KachelY + 1 85596 -0.25416144 -0.84052888 -14.562378 -48.158757
    Unten rechts KachelX + 1 60235 KachelY + 1 85596 -0.25411350 -0.84052888 -14.559631 -48.158757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84049690--0.84052888) × R
    3.19800000000425e-05 × 6371000     		dl = 203.744580000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84049690--0.84052888) × R
    3.19800000000425e-05 × 6371000     		dr = 203.744580000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25416144--0.25411350) × cos(-0.84049690) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.66709273028873 × 6371000     		do = 203.747290797158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25416144--0.25411350) × cos(-0.84052888) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.667068905657013 × 6371000     		du = 203.740014141386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84049690)-sin(-0.84052888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66709273028873-0.667068905657013)×R²
    abs(-0.25411350--0.25416144)×2.38246317166846e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38246317166846e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38246317166846e-05×40589641000000     		ar = 41511.6649036942m²