Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60233 / 85594
↖ ↑ ↗
← S 48.155093°
W 14.565125°		 ← 203.75 m → S 48.155093°
W 14.562378°		 →
↑
203.74 m
↓
↑
203.74 m
↓
S 48.156925°
W 14.565125°		 ← 203.75 m →
41 513 m²		 S 48.156925°
W 14.562378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459545135498047 y=0.653034210205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459545135498047 × 217)
    floor (0.459545135498047 × 131072)
    floor (60233.5)     		tx = 60233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653034210205078 × 217)
    floor (0.653034210205078 × 131072)
    floor (85594.5)     		ty = 85594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60233 / 85594 ti = "17/60233/85594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60233/85594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60233 ÷ 217
    60233 ÷ 131072     		x = 0.459541320800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85594 ÷ 217
    85594 ÷ 131072     		y = 0.653030395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459541320800781 × 2 - 1) × π
    -0.0809173583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25420938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653030395507812 × 2 - 1) × π
    -0.306060791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.961518332579086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25420938} λ = -0.25420938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.961518332579086))-π/2
    2×atan(0.382311968356709)-π/2
    2×0.365165702447035-π/2
    0.73033140489407-1.57079632675     		φ = -0.84046492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25420938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.565125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84046492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.155093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60233 KachelY 85594 -0.25420938 -0.84046492 -14.565125 -48.155093
    Oben rechts KachelX + 1 60234 KachelY 85594 -0.25416144 -0.84046492 -14.562378 -48.155093
    Unten links KachelX 60233 KachelY + 1 85595 -0.25420938 -0.84049690 -14.565125 -48.156925
    Unten rechts KachelX + 1 60234 KachelY + 1 85595 -0.25416144 -0.84049690 -14.562378 -48.156925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84046492--0.84049690) × R
    3.19800000000425e-05 × 6371000     		dl = 203.744580000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84046492--0.84049690) × R
    3.19800000000425e-05 × 6371000     		dr = 203.744580000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25420938--0.25416144) × cos(-0.84046492) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.667116554238197 × 6371000     		do = 203.754567244318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25420938--0.25416144) × cos(-0.84049690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.66709273028873 × 6371000     		du = 203.747290796922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84046492)-sin(-0.84049690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667116554238197-0.66709273028873)×R²
    abs(-0.25416144--0.25420938)×2.38239494672055e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38239494672055e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38239494672055e-05×40589641000000     		ar = 41513.1474614982m²