Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60233 / 14666
↖ ↑ ↗
← N 70.001810°
E150.869751°		 ← 208.88 m → N 70.001810°
E150.875244°		 →
↑
208.91 m
↓
↑
208.91 m
↓
N 69.999931°
E150.869751°		 ← 208.90 m →
43 639 m²		 N 69.999931°
E150.875244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919090270996094 y=0.223793029785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919090270996094 × 216)
    floor (0.919090270996094 × 65536)
    floor (60233.5)     		tx = 60233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223793029785156 × 216)
    floor (0.223793029785156 × 65536)
    floor (14666.5)     		ty = 14666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60233 / 14666 ti = "16/60233/14666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60233/14666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60233 ÷ 216
    60233 ÷ 65536     		x = 0.919082641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14666 ÷ 216
    14666 ÷ 65536     		y = 0.223785400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919082641601562 × 2 - 1) × π
    0.838165283203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.63317390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223785400390625 × 2 - 1) × π
    0.55242919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.73550751384451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63317390} λ = 2.63317390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73550751384451))-π/2
    2×atan(5.6718055933462)-π/2
    2×1.39627919389137-π/2
    2.79255838778274-1.57079632675     		φ = 1.22176206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63317390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.869751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22176206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.001810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60233 KachelY 14666 2.63317390 1.22176206 150.869751 70.001810
    Oben rechts KachelX + 1 60234 KachelY 14666 2.63326977 1.22176206 150.875244 70.001810
    Unten links KachelX 60233 KachelY + 1 14667 2.63317390 1.22172927 150.869751 69.999931
    Unten rechts KachelX + 1 60234 KachelY + 1 14667 2.63326977 1.22172927 150.875244 69.999931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22176206-1.22172927) × R
    3.27900000001158e-05 × 6371000     		dl = 208.905090000738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22176206-1.22172927) × R
    3.27900000001158e-05 × 6371000     		dr = 208.905090000738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63317390-2.63326977) × cos(1.22176206) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341990464275499 × 6371000     		do = 208.883593036092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63317390-2.63326977) × cos(1.22172927) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342021276966868 × 6371000     		du = 208.902413051141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22176206)-sin(1.22172927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341990464275499-0.342021276966868)×R²
    abs(2.63326977-2.63317390)×3.08126913685092e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08126913685092e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08126913685092e-05×40589641000000     		ar = 43638.8116053494m²