Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60232 / 85591
↖ ↑ ↗
← S 48.149596°
W 14.567871°		 ← 203.78 m → S 48.149596°
W 14.565125°		 →
↑
203.74 m
↓
↑
203.74 m
↓
S 48.151428°
W 14.567871°		 ← 203.77 m →
41 518 m²		 S 48.151428°
W 14.565125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459537506103516 y=0.653011322021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459537506103516 × 217)
    floor (0.459537506103516 × 131072)
    floor (60232.5)     		tx = 60232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653011322021484 × 217)
    floor (0.653011322021484 × 131072)
    floor (85591.5)     		ty = 85591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60232 / 85591 ti = "17/60232/85591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60232/85591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60232 ÷ 217
    60232 ÷ 131072     		x = 0.45953369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85591 ÷ 217
    85591 ÷ 131072     		y = 0.653007507324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45953369140625 × 2 - 1) × π
    -0.0809326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25425732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653007507324219 × 2 - 1) × π
    -0.306015014648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.961374521880226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25425732} λ = -0.25425732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.961374521880226))-π/2
    2×atan(0.382366952861647)-π/2
    2×0.365213674265422-π/2
    0.730427348530843-1.57079632675     		φ = -0.84036898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25425732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.567871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84036898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.149596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60232 KachelY 85591 -0.25425732 -0.84036898 -14.567871 -48.149596
    Oben rechts KachelX + 1 60233 KachelY 85591 -0.25420938 -0.84036898 -14.565125 -48.149596
    Unten links KachelX 60232 KachelY + 1 85592 -0.25425732 -0.84040096 -14.567871 -48.151428
    Unten rechts KachelX + 1 60233 KachelY + 1 85592 -0.25420938 -0.84040096 -14.565125 -48.151428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84036898--0.84040096) × R
    3.19799999999315e-05 × 6371000     		dl = 203.744579999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84036898--0.84040096) × R
    3.19799999999315e-05 × 6371000     		dr = 203.744579999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25425732--0.25420938) × cos(-0.84036898) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.667188021992859 × 6371000     		do = 203.776395336408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25425732--0.25420938) × cos(-0.84040096) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.667164200090286 × 6371000     		du = 203.769119514186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84036898)-sin(-0.84040096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667188021992859-0.667164200090286)×R²
    abs(-0.25420938--0.25425732)×2.38219025728847e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38219025728847e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38219025728847e-05×40589641000000     		ar = 41517.5948803977m²