Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60232 / 40551
↖ ↑ ↗
← N 56.403264°
W 14.567871°		 ← 169.01 m → N 56.403264°
W 14.565125°		 →
↑
169.02 m
↓
↑
169.02 m
↓
N 56.401744°
W 14.567871°		 ← 169.01 m →
28 566 m²		 N 56.401744°
W 14.565125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459537506103516 y=0.309383392333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459537506103516 × 217)
    floor (0.459537506103516 × 131072)
    floor (60232.5)     		tx = 60232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309383392333984 × 217)
    floor (0.309383392333984 × 131072)
    floor (40551.5)     		ty = 40551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60232 / 40551 ti = "17/60232/40551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60232/40551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60232 ÷ 217
    60232 ÷ 131072     		x = 0.45953369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40551 ÷ 217
    40551 ÷ 131072     		y = 0.309379577636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45953369140625 × 2 - 1) × π
    -0.0809326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25425732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309379577636719 × 2 - 1) × π
    0.381240844726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.1977034370071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25425732} λ = -0.25425732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1977034370071))-π/2
    2×atan(3.312500813864)-π/2
    2×1.27760949821389-π/2
    2.55521899642779-1.57079632675     		φ = 0.98442267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25425732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.567871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98442267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.403264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60232 KachelY 40551 -0.25425732 0.98442267 -14.567871 56.403264
    Oben rechts KachelX + 1 60233 KachelY 40551 -0.25420938 0.98442267 -14.565125 56.403264
    Unten links KachelX 60232 KachelY + 1 40552 -0.25425732 0.98439614 -14.567871 56.401744
    Unten rechts KachelX + 1 60233 KachelY + 1 40552 -0.25420938 0.98439614 -14.565125 56.401744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98442267-0.98439614) × R
    2.65300000000801e-05 × 6371000     		dl = 169.02263000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98442267-0.98439614) × R
    2.65300000000801e-05 × 6371000     		dr = 169.02263000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25425732--0.25420938) × cos(0.98442267) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.553344095260296 × 6371000     		do = 169.005529769591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25425732--0.25420938) × cos(0.98439614) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.553366193302472 × 6371000     		du = 169.012279080476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98442267)-sin(0.98439614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553344095260296-0.553366193302472)×R²
    abs(-0.25420938--0.25425732)×2.20980421758998e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20980421758998e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20980421758998e-05×40589641000000     		ar = 28566.3295211692m²